Question

Um foguete com ogiva nuclear foi acidentalmente lançado de um ponto da Terra e cairá perigosamente de volta à Terra. Se a
trajetória plana desse foguete segue o gráfico da equação 2 y  x 300x , qual a tangente do ângulo segundo o qual se deve
lançar outro foguete, com trajetória retilínea, do mesmo ponto de lançamento do primeiro foguete, para que esse último
intercepte e destrua o primeiro no ponto mais afastado da terra?
a) 100
b) 150
c) 200
d) 250
e) 300

Answer 1

$y = -x^2+300x$

é uma equação do segundo grau na forma de $\cap$

y = altura que o foguete atinge

o foguete parte do chão então a altura = 0
$0= -x^2+300x$

calculando as raízes dessa equaçao 
x'= 0 e x''=300

o foguete sai da terra no ponto onde é a primeira equação dessa raíz
A=(0,0) (ponto de lançamento dos dois foguetes)

ele atinge a altura máxima no vértice da parabola
calculando as coordenadas do vertice
$V_x = \frac{-b}{2a} = \frac{-300}{2*-1} \\\\V_x = 150$

calculando altura maxima que vai ser quando x =150
$V_y= -(150)^2 + 300*150\\\\ V_y= -22500 + 45000\\\\\\V_y= 22500$

as coordenadas do ponto do ponto máximo atingido pelo foguete é
B=(150; 22500)

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
o outro foguete vai sair do mesmo ponto que o primeiro
A=(0;0)
e vai ser lançado em linha reta para atingir o outro foguete na altura maxima
que é B=(150; 22500)

como ele sai em linha reta a sua equação é uma equação do primeiro grau
$y= m(x-x0) +y0$

mas ele só quer saber o angulo com que o foguete deve ser lançado

sabendo que 
m = coeficiente angular = inclinação da reta = tg(Ф)

calculando o valor do coeficiente angular
da reta que passa pelos pontos A e B

$m= \frac{Y_A - Y_B}{X_A-X_B} = \frac{0-22500}{0-150} = \frac{-22500}{-150} = 150\\\\ \boxed{m=150}$

mas como o coeficiente angular é a tangente do angulo

a tangente do angulo que ele deve ser lançado é 150

Answer 2

Essa é a equação de parábola do tipo: y = ax² + bx + c

y = -x² + 300x

Onde:

a = -1
b = 300
c = 0

O valor de "y" no momento em que o foguete não foi lançado é igual a zero (pois o mesmo ainda está no chão).

Logo:

0 = -x² + 300x

Aplicando Bhaskara, descobriremos o(s) valor(es) de "x" (raízes da equação):

D = b² - 4.a.c
D = (300)² - 4.(-1).(0)
D = 90000

$x = \frac{-b \ ^{+}_{-} \ \sqrt{D}}{2a}$


$x' = \frac{-300 \ + \ \sqrt{90000}}{2.(-1)}$

$x' = \frac{-300 \ + \ 300}{-2}$

$x' = \frac{0}{-2}$

x' = 0


$x'' = \frac{-300 \ - \ \sqrt{90000}}{2.(-1)}$

$x'' = \frac{-300 \ - \ 300}{2.(-1)}$

$x'' = \frac{-600}{-2}$

x'' = 300


Altura máxima alcançada pelo foguete (y do vértice):

$y_{v} = -\frac{D}{4a}$

$y_{v} = -\frac{90000}{4.(-1)}$

$y_{v} = \frac{90000}{4}$

$y_{v} = 22500$


Distância (horizontal) do foguete (do ponto de seu lançamento) em sua altura máxima (x do vértice):

$x_{v} = -\frac{b}{2a}$

$x_{v} = -\frac{300}{2.(-1)}$

$x_{v} = \frac{300}{2}$

$x_{v} = 150$


Então:

O ponto mais afastado da terra é P(150, 22500).


O outro foguete:

Como pretende-se lançar o outro foguete (do mesmo ponto do primeiro) com trajetória retilínea, temos (se considerarmos a altura y e a distância x, e ainda o trajeto em linha reta pelo segundo foguete) um triângulo retângulo, cuja a tangente do ângulo com o chão se dá por:


         P(150, 22500)
       / |
     /   |               
   /     |  y = 22500
 / θ)_|____
    x = 150

x = Cateto Adjacente ao ângulo θ
y = Cateto Oposto ao ângulo θ

tg θ = $\frac{Cateto \ Oposto}{Cateto \ Adjacente}$


Donde temos:

tg θ = $\frac{y}{x}$

tg θ = $\frac{22500}{150}$

tg θ = 150


Portanto:

A tangente do ângulo procurado é 150.


A alternativa correta é a letra b.