Question

 Um fio metálico mede 2,2 metros quando a temperatura é de 15ºC. Considerando que seu coeficiente de dilatação térmica linear seja de a = 0,00002 ºC-1. O comprimento final do fio, em metros, quando a temperatura for de 60ºC, será de: * 10 pontos a) 1,098 b) 0,098 c) 0,012 d) 0,12 e) 0,00198

Answer 1

O comprimento final do fio metálico, em metros, é de 2,20198, no entanto, acredito que haja um erro no enunciado, pois ele pede o comprimento final, mas a resposta correta não se encontra nas alternativas. Dessa maneira, é provável que a pergunta esteja pedindo, na verdade, a dilatação sofrida. Nesse caso, a alternativa correta é a opção e) 0,00198.

Teoria

A dilatação linear é um fenômeno decorrente da variação de temperatura, que causa uma distorção no comprimento de um determinado material, considerando apenas a dilatação unidimensional.

Cálculo

Em termos matemáticos, a dilatação (variação de comprimento) linear é proporcional ao produto do comprimento inicial pelo coeficiente de dilatação linear pela variação de temperatura, tal como a equação I abaixo:

$\boxed {\sf \Delta L = L_0 \cdot \Large \alpha \normalsize \cdot \Delta T} \; \; \textsf{(equa\c{c}{\~a}o I)}$

Onde:

ΔL = variação do comprimento (em m);

L₀ = comprimento inicial (em m);

α = coeficiente de dilatação linear (em ºC⁻¹);

ΔT = variação de temperatura (em °C).

De modo análogo, também sabemos, de acordo com os estudos em dilatação térmica, que a variação de comprimento é proporcional ao módulo da diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial, tal como a equação II abaixo:    

$\boxed {\sf \Delta L = L_F - L_0} \; \; \textsf{(equa\c{c}{\~a}o II)}$  

Onde:    

ΔL = variação de comprimento (em m);    

LF = comprimento final (em m);    

L₀ = comprimento inicial (em m).  

Aplicação

Para a dilatação sofrida

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{? m} \\\sf L_0 = \textsf{2,2 m} \\\sf \alpha = \textsf{0,00002 } {\° C}^\textsf{-1} = \textsf{2} \cdot \textsf{10}^\textsf{-5 } {\° C}^\textsf{-1} \\ \sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 60 - 15 = 45 \; \° C \\ \end{cases}$

 

Substituindo na equação I:

$\sf \Delta L = \textsf{2,2} \cdot 2 \cdot 10^\textsf{-5} \cdot 45$

Multiplicando:

$\boxed {\sf \Delta L = \textsf{1,98} \cdot 10^\textsf{-3} \textsf{ m}}} \textsf{ ou } \boxed {\sf \Delta L = \textsf{0,00198 m}}}$

Para o comprimento final

Sabe-se, segundo o enunciado e o cálculo anterior:

$\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{0,00198 m} \\\sf L_F = \textsf{? m} \\ \sf L_0 = \textsf{2,2 m}\end{cases}$

Substituindo na equação II:

$\sf \textsf{0,0099} = L_F - \textsf{2,2}$

Isolando o segundo termo:

$\sf L_F = \textsf{2,2} + \textsf{0,00198}$

Somando:

$\boxed {\sf L_F = \textsf{2,20198 m}}$

Espero que a resposta seja satisfatória e correta, bons estudos!

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