Question

Um fio de cobre de calibre 16 (raio de 0,65 mm) está ligado em série com um fio de cobre de calibre 18 (raio de 0,51 mm), de tal modo que ambos transportam a mesma corrente de 2,4 A. Admitindo uma densidade uniforme de corrente:

(a) Qual é a densidade de corrente em cada fio
(b) Qual é a velocidade de arraste do portador em cada fio?

Answer 1

Olá, @Maalkdown

Resolução:

a)

Densidade de corrente elétrica

                                $\boxed{J=\dfrac{i}{A} }$

Onde:

J=densidade de corrente elétrica ⇒ [A/m³]

i=intensidade da corrente ⇒ [A]

A=área de secção transversal do fio ⇒ [m²]

Dados:

Fio de calibre 16 (R₁=0,65 mm ⇒  6,5 .10⁻⁴ m)

Fio de calibre 18 (R₂=0,51 mm ⇒  5,1.10⁻⁴ m)

i=2,4 A

π=3,14

n=8,5.10²⁸ e/m³

e=1,6.10⁻¹⁹ C

J=?

A densidade de corrente para cada fio:

                                  $J=\dfrac{i}{A}=\dfrac{i}{2.\pi.R^2}\\\\\\J_1=\dfrac{2,4}{2_X3,14_X(6,5.10-^{4})^2}\\\\\\J_1=\dfrac{2,4}{2,65.10-^{6}}\\\\\\\boxed{J_1\approx904533,9\ A/m^2}$

                                  $J_2=\dfrac{2,4}{2_X3,14_X(5,1.10-^{4})^2}\\\\\\J_2=\dfrac{2,4}{1,63.10-^{6}}\\\\\\\boxed{J_2=1.469.302,5\ A/m^2}$

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b)

A velocidade de arraste do portador em cada fio:

A corrente média é igual à quantidade de carga que atravessa o condutor por unidade de tempo.

                                  $i=\dfrac{Q}{t}$   (I)

Onde a carga é calculada como o produto do número de elétrons vezes a carga elementar

                                  $Q=N.e$  (II)

Velocidade escalar média é a razão entre a distância percorrida por um corpo e o intervalo de tempo

                                  $v=\dfrac{d}{t} \to d=V.t$ (III)

A concentração de elétrons por unidade de volume é:

                                  $n=\dfrac{N}{V} \to N=n.V$(IIII)

Mas sabemos que o volume de uma figura geométrica cilíndrica,

                                 $V=A.d$  (IIIII)

Substituindo (III) em (IIIII),

                                  $V=A.v.t$

Substituindo (IIIII) em (IIII),

                                  $N=n.A.v.t$

Substituindo (IIII) em (II),

                                 $Q=n.A.v.t.e$

Por fim, substituindo (II) em (I)

                                 $i=\dfrac{n.A.v.t.e}{t}$

Cancela (t) em cima e embaixo, obtemos

                                  $\boxed{i=n.A.v.e}$

Isolando ⇒ (v), fica

                                    $v=\dfrac{i}{n.A.e}$

Agora basta substituir os dados para cada seção do fio,

                                  $v_1=\dfrac{2,4}{8,5.10^{28}.2,65.10-^{6}.1,6.10-^{19}}\\\\\\v=\dfrac{2,4}{3,6.10^{4}}\\\\\\\boxed{v_1\approx6,65.10-^{5}\ m/s}$

                                  $v_2=\dfrac{2,4}{8,5.10^{28}.1,63.10-^{6}.1,6.10-^{19}}\\\\\\v_2=\dfrac{2,4}{2,2.10^{4}}\\\\\\\boxed{v_2\approx1,08.10-^{4}\ m/s}$

Bons estudos! =)