Question

Um fazendeiro vende 1 litro de leite em uma embalagem de papelão que tem a forma de um prisma retode base quadrada, 7 cm, 7 cm e 21 cm. Ele pretende vender outro tipo de leite numa nova embalagem,que tem a forma de um prisma reto, cuja base é um triângulo isósceles de 32 cm de perímetro e cujos lados iguais medem 10 cm.a) Qual deve ser a altura da nova  ? B)NA FABRICAÇAO DE QUAL DAS DUAS EMBALAGENS SERA USADA  A QUANTIDADE DE PAPELAO ? DE QUANTO SERA A DIFRENÇA

Answer 1

No enunciado, percebemos a existência de dois recipientes:

• O primeiro deles possui um formato de prisma quadrangular reto, isto é, de um prisma cujas bases são quadrados paralelos. É informado que os lados destes quadrados medem 7 cm e que a altura do prisma mede 21 cm.

• O segundo possui um formato de prisma triangular reto, isto é, de um prisma cujas bases são triângulos paralelos. Além disso, é ressaltado que estes triângulos são isósceles, ou seja, têm dois lados iguais, que o perímetro destes triângulos é igual a 32 cm e que seus lados iguais medem 10 cm. 

O item A está incompleto, mas aparentemente nos pede que descubramos a altura que o segundo recipiente (prisma triangular reto) deve ter para que tenha o mesmo volume que o primeiro recipiente. Assim, devemos determinar o volume de cada um, o que é calculado pelo produto entre a área da base do prisma e sua altura.

Mas, antes é necessário descobrir as medidas dos lados do triângulo de base do segundo recipiente, pois só assim conseguiremos calcular o volume. Foi dito que o perímetro deste triângulo é igual a 32 cm e que seus lados iguais medem 10 cm individualmente. Consequentemente, sabemos que os dois lados iguais juntos medem 20 cm e que, portanto, o outro lado mede 12 cm, pois 32 - 20 = 12.

Pelo Teorema de Pitágoras, podemos descobrir a medida da altura deste triângulo, um outro valor necessários aos cálculos (observe a figura 2):

$10^2 = h^2 + 6^2 \\ 100 = h^2 + 36 \\ h^2 = 100 - 36 \\ h^2 = 64 \\ h = \text{8 cm}$

Calculando os volumes:

$\text{Legendas:} \\\\ \text{V = volume} \\ \text{A}_b = \acute{a}\text{rea da base} \\ h = \text{altura} \\\\ \bullet \ \text{Recipiente 1} \\\\ \text{V}_1 = \text{A}_b \cdot h \\ \text{V}_1 = (7 \cdot 7) \cdot 21 \\ \text{V}_1 = \text{1029 cm}^3 \\\\ \bullet \ \text{Recipiente 2} \\\\ \text{V}_2 = \text{A}_b \cdot h \\ \text{V}_2 = (\frac{12 \cdot 8}{2}) \cdot h \\ \text{V}_2 = 48h \ \text{cm}^3$

Na hipótese em que os volumes dos recipientes 1 e 2 são iguais, temos:

$\bullet \ \text{V}_1 = \text{V}_2 \\ 1029 = 48h \\\\ \boxed{h = \text{21,4375 cm}}$

Quanto ao item B, a quantidade de papelão utilizada estará relacionada com a área da superfície total dos prismas. Esta área é calculada ao somarmos as áreas das bases e dos lados dos prismas:

$\bullet \ \text{A}_1 = 2 \cdot \text{A}_b + 4 \cdot \text{A}_l \\ \text{A}_1 = 2 \cdot 49 + 4 \cdot (21 \cdot 7) \\ \boxed{\text{A}_1 = \text{57624 cm}^2} \\\\ \bullet \ \text{A}_2 = 2 \cdot \text{A}_b + l_1 + 2l_2 \\ \text{A}_2 = 2 \cdot 48 + 12 \cdot 21,4375 + 2 \cdot 10 \cdot 21,4375 \\ \text{A}_2 = 96 + 257,25 + 428,75 \\ \boxed{\text{A}_2 = \text{782 cm}^2} \\\\ \bullet \text{A}_1 - \text{A}_2 = \boxed{\text{56842 cm}^2}$