Question

Um fazendeiro tem 2000 m de cerca e quer cercar um campo retangular. Quais as dimensões do campo que tem a maior área?

Answer 1

A cerca será o perímetro do campo retangular.
O perímetro de um retângulo é:
P=2.x + 2.y
Onde x e y são as dimensões (comprimento e largura) do retângulo.
Para este cada perímetro máximo é de 2000m (o comprimento de cerca que se tem. Então:
2000=2.x + 2.y
Ficando:
1000=x + y
Então tiramos uma relação entre x e y:
y=1000 - x

O que é pedido é a área máxima para com este perímetro.
A área de um retângulo é dada por:
A=x.y
Substituindo a com a equação da relação entre x e y, ficamos:
A=x.(1000 - x)
A=1000.x  - x²

Essa é a função que dá a área. Essa é uma função quadrática com concavidade para baixo (possui um ponto de máximo). Nos pontos em que x é 0 e x é 1000 a área é 0 pois o retângulo se transformará numa linha (uma das dimensões não existirá).
Como a função nos dá a área, seu ponto de máximo será o ponto onde teremos x para a maior área possível. Então se calcularmos a derivada desta função, onde a derivada for 0 será o ponto de máximo dela (pois a função não tem ponto de mínimo).
Calculamos a derivada:
A=1000.x  - x²
dA/dx = 1000 -2x
E então igualamos a 0:
0=1000 -2x
2x=1000
x=500m
E y=1000 - x  ---> y=1000-500  --> y=500m

O resultado era previsível pois para um quadrilátero, a maior área possível é a de um quadrado.

Espero ter ajudado =)