Question

Um fazendeiro possui 150 metros de um rolo de tela para cercar um jardim retangular e um pomar, aproveitando, como um dos lados, parte de um muro, conforme indica a figura seguinte:

OBS: se alguém puder ajudar sem derivada ia ser melhor já que eu ainda não aprendi isso

Answer 1

Resposta:

Oi

Explicação passo-a-passo:

Problema de otimização utilizando cálculo diferencial. Derivação para determinar pontos de máximo/mínimo.

1) Situação com muro

Deve-se determinar primeiro as equações de área e perímetro.

Perímetro total = 3x + 3y = 150

Área total = 3yx

Isolando y na equação do perímetro

y = (150 - 3x) / 3

Substituindo o y na equação da área

A = 3yx = 3 [(150 - 3x) / 3] x = 150x - 3x²  (área em função do perímetro)

A = 150x - 3x²

Fazer a primeira derivada igual a zero para encontrar o ponto de máxima área em função de x

dA/dx = (150x - 3x²)' = 0

dA/dx = 150 - 6x = 0  -->  x = 150/6 = 25 m

Depois encontra o valor de y

y = (150 - 3x) / 3 -->  y = (150 - 3(25)) / 3 = 25 m

Depois calcula a área total do cercado

Área total = 150x - 3x² = 150(25) - 3(25)² = 1875 m²

Pomar = 25(25) = 625 m²

Jardim = 50(25) = 1250 m²

2) Situação sem muro

Deve-se determinar primeiro as equações de área e perímetro.

Perímetro total = 3x + 6y = 150

Área total = 3yx

Isolando y na equação do perímetro

y = (150 - 3x) / 6

Substituindo o y na equação da área

A = 3yx = 3 [(150 - 3x) / 6] x = 75x - 3/2x²  (área em função do perímetro)

A = 75x - 3/2x²

Fazer a primeira derivada igual a zero para encontrar o ponto de máxima área em função de x

dA/dx = (75x - 3/2x²)' = 0

dA/dx = 75 - 3x = 0  -->  x = 75/3 = 25 m

Depois encontra o valor de y

y = (150 - 3x) / 6 -->  y = (150 - 3(25)) / 6 = 12,5 m

Depois calcula a área total do cercado

Área total = 75x - 3/2x² = 75(25) - 3/2(25)² = 937,5 m²

Pomar = 25(12,5) = 312,5 m²

Jardim = 25(25) = 625 m²

Análise das áreas

Comparando-se as áreas com muro e sem muro tem-se que:

Área com muro = 1875,0 m²

Área sem muro = 937,5 m²

Relação = área sem muro / área com muro = 937,5 / 1875,0 = 0,50 = 50%

A redução de área comparando-se sem o muro e com o muro foi de 50%.

Answer 2

Vamos resolver sem as derivadas.

a) O enunciado quer que utilizemos o rolo de 150m para cercar a maior área possível. O confuso é que, precisamos pensar de forma aplicada. A gente não pode cercar onde tem o muro. O jeito é considerar a área, do pomar e do jardim, como um retângulo aberto. E temos que cercar a parte que divide o pomar e o jardim. Puxa vida, dói a cabeça só de pensar. Mas se não cercar a raposa vai roubar tudo. E eu não quero desperdiçar dinheiro com a parte do muro.

1° Conte os lados do retângulo aberto: 3x (na vertical) e 3y (na horizontal).

[O livro podia ter ajudado no padrão da variáveis, mas na vida não se tem gabarito]

2° Agora é a hora de não derivar. Como que se calcula perímetro mesmo?

Aha!!! Isso aí, soma as arestas. Termos chique.

Só-men-te as que es-tão pon-ti-lha-das. Ishhh (O muro dane-se)

3x + 3y = 150

x + y = 50 (/3)

y = -x + 50 (-x)

[Viu só que eu já isolei o y?]

3° Agora vamos lembrar de como se calcula área, já que o enunciado pediu a maior área possível, lembra?

Uma função afim adaptada:

temos 3x e 3y, logo:

3xy = área

Jutsu de Substituição:

área = 3x (-x +50)

área = -3x² +150x

Agora que temos uma função quadrática, vamos lembrar que essas danadinhas tem um pico máximo, que chamamos de vértice da parábola.

Na matemática, tem que pensar um pouco pitagorescamente. Esse limite da parábola indica quando foi o máximo ou o mínimo de algum evento em função. Função é isso, uma variação de variáveis. Não é da hora?

Lembra da fórmula do vértice da parábola? Precisamos do vértice do x.

X(máx) = -b/2a = -150/-6 = 25

Agora tá na hora de descobrir a área total da função:

f(x) = -3x (25)² + 150 (25)

f(x) = 1875m [Guarda essa área aqui]

Vamos fazer mais substituições, só que agora pra descobrir o y, voltando lá na fórmula dá área de antes.

Área = 1875

1875 = 3xy

1875 = 3 (25) y

y = 25m

TCHARAAAAM!!! Descobrimos o x e o y (em negrito), e a área só pra variar (sacou a piada 9...9), considerando a área total. E eu nem precisei buscar o video game do Newton. Mas pra salvar as maçãs dele, ainda temos que vencer a b.

b) Na b as coisas ficam menos familiares. Veio um dinossauro e quebrou o muro. PUUUUM.

Agora sim o bicho pega. Temos que cercar tudo mesmo. E... NÃO, deixa o Cálculo pra quando você for trabalhar com soluções precisas no limiiiiiiiite.

Antes a gente tinha o muro, agora temos que criar um meia boca com o pedaço de cerca do brechó. (se bem que...)

3x + 6y = 150 [mais 3x do lado onde ficava o muro].

x + 2y = 50 (/3)

2y = 50 - x (-x)

y = 50 - x / 2 (/2)

Isolamos já o y, e agora vamos descobrir a função quadrática da área:

3x (50-x/2) = área

150/2x -3/2x²

75x-1,5x² [f(x)= -1,5x²+75x]

Descobrimos a função, agora vamos descobrir o vértice da parábola.

X(max) = -b/2a

b = 75

a = 1,5

X(max) = -75/-3 = 25

Agora tá na hora de descobrir a área total da função:

f(x) = 1,5 * (25)² + 75 * (25)

f(x) = 937,5

Vamos fazer mais substituições, só que agora pra descobrir o y, voltando lá na fórmula daárea de antes.

937,5 = área

937,5 = 3xy

937,5 = 3 (25) y

y = 12,5m

Olha aí crianças, salvamos o dia. Toca aqui.

Peraí... o dinossauro quebrou o muro, e cercamos com um rolo de tela???

Vamos lembrar agora quais foram as áreas obtidas pra fazer o relatório de prejuízos?

1875m com o muro e 937,5m sem o muro.

A razão de eu chorar nisso tudo é a área menor sobre a área maior.

A parte pelo todo:

A opção pelo conjunto:

A resposta final:

937,5/1875 = 0,5

0,5 no mundo infinito (dos pitagóricos/racionais) entre o 0 e 1 também carrega o nome de 50%.

Eu sei que eu sou chato >...>

Mas me deve um pimentão. Sou vegetariano...