Question

Um fazendeiro de seja cercar um campo retangular com uma grade e então d dividiu-o a o meio por outra grade paralela a um lado. Quais sã o as dimensões da maior área que p ode ser cer cada com 1800 m de grade?

Answer 1

As dimensões da maior área que pode ser cercada com 1800 m de grade são 300 m e 450 m.

Explicação:

A figura anexa ilustra as incógnitas do problema, usadas na construção da resposta e as dimensões encontradas no final.

A soma dos pedaços de cerca será igual aos 1.800 m de grade disponíveis, ou seja,

$4y+3x=1800$

Isolando o y:

$4y+3x=1800\\\\4y=1800-3x\\\\y=\frac{1800-3x}{4} \quad \quad (Eq. 1)$

A área do retângulo será igual a

$A=(y+y)\,.\,x\\A=2\,.\,y\,.\,x \quad \quad (Eq. 2)$

Substituindo a Eq. 1 na Eq. 2, temos

$A=2\,.\,\frac{1800-3x}{4}\,.\,x\\\\A=2x\,.\,\frac{1800-3x}{4}\\\\A=\frac{3600x-6x^2}{4}\\\\A=900x-\frac{6x^2}{4}\\\\A=900x-1,5\,.\,x^2\\\\A=-1,5\,.\,x^2+900x$

Como o valor do coeficiente em x² é negativo, essa é a equação de uma parábola com concavidade voltada para baixo. Logo, a área será máxima no ponto mais alto (vértice) da parábola e seu valor será a ordenada desse ponto, que pode ser calculada pela fórmula:

$A_{m\'axima}=-\frac{\Delta}{4\,.\,a}\\\\A_{m\'axima}=-\frac{b^2-4\,.\,a\,.\,c}{4\,.\,a}\\\\A_{m\'axima}=-\frac{900^2-4\,.\,-1,5\,.\,0}{4\,.\,-1,5}\\\\A_{m\'axima}=-\frac{900^2}{-6}\\\\A_{m\'axima}=\frac{900^2}{6}\\\\A_{m\'axima}=\frac{900\,.\,900}{6}\\\\A_{m\'axima}=150\,.\,900\\\\A_{m\'axima}=135.000\;m^2$

Para saber as dimensões dessa maior área, basta saber que o valor da abcissa do vértice da parábola é dado por

$\frac{-b}{2\,.\,a}=\frac{-900}{2\,.\,-1,5}=\frac{-900}{-3}=300\;m$

Chamando essa valor de a e substituindo-o na fórmula da área de um retângulo:

$A=a\,.\,b\\\\b=\frac{A}{a}=\frac{135.000}{300}=450\;m$