Question

Um fabricante vende , mensalmente x unidades de um determinado artigo por R(x) = x^2 - x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x^2 - 7x + 8 , quantas unidades devem ser vendidas mensalmente de modo que se obtenha o lucro maximo ?? (observação Lucro = venda - custo ).


como seria feito isso em derivada ou integral que é o assunto que estou vendo ??

Answer 1

Como diz o enunciado, a função lucro é a diferença entre a função R(x) (venda) e C(x) (custo):

$L(x)=R(x)-C(x)\\\\L(x)=(x^{2}-x)-(2x^{2}-7x+8)\\\\L(x)=x^{2}-x-2x^{2}+7x-8\\\\L(x)=-x^{2}+6x-8$

Os pontos críticos de uma função (pontos onde a derivada é nula ou não existe) e os extremos do intervalo onde a função está definida são os candidatos a ponto de máximo ou de mínimo da função em questão

Derivando L:

$L'(x)=\frac{d}{dx}(-x^{2}+6x-8)=-2x+6$

A derivada é uma função afim, portanto é contínua em toda a parte, logo, não está definida em apenas um intervalo limitado (não há extremos do intervalo onde a função está definida). Portanto, o único ponto crítico de L ocorre quando L'(x) = 0

$L'(x)=0~~~\therefore~~~-2x+6=0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x=3}}$

Estudo de sinal da derivada:

$-2x+6~\textgreater~0~~~\therefore~~~-2x~\textgreater-6~~~\therefore~~~2x~\textless~6~~~\therefore~~~~\boxed{\boxed{x~\textless~3}}\\\\-2x+6~\textless~0~~~\therefore~~~-2x~\textless-6~~~\therefore~~~2x~\textgreater~6~~~\therefore~~~~\boxed{\boxed{x~\textgreater~3}}$

Portanto, a função L é crescente para todo x menor que 3 e decrescente para todo x maior que 3, então, temos um ponto de máximo em x = 3 (e esse é o máximo global da função)

Devem ser vendidas 3 unidades mensalmente de modo que se obtenha o lucro máximo