Question

Um fabricante quer projetar uma caixa aberta que possui uma base quadrada e uma área de superfície de 29 metros quadrados. Quais dimensões produzem a caixa com volume máximo ?​

Answer 1

Chamemos de $l$ e $h$ o lado da base quadrada e a altura da caixa, respectivamente.

Considerando-se que a caixa é composta de uma base quadrada, de área $l^2$, e de quatro faces retangulares, de área $lh$ cada, sua área de superfície é dada por:

$A_S = l^2 + 4lh$

⇔   $l^2 + 4lh = 29$

⇔   $4lh = 29 - l^2$

⇔   $h = \frac{29 - l^2}{4l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

O volume da caixa é dado por:

$V(l, h) = l^2h$

⇔   $V(l) = l^2\,.\,\frac{29 - l^2}{4l}$

⇔   $V(l) = \frac{29l - l^3}{4} .$

O volume terá um valor máximo quando $\frac{dV}{dl} = 0.$

$\frac{d}{dl}(\frac{29l-l^3}{4}) = 0$

⇔   $\frac{29}{4} - \frac{3}{4}l^2 = 0$

⇔   $\frac{3}{4}l^2 = \frac{29}{4}$

⇔   $l^2 = \frac{29}{3}$

⇔   $l = \frac{\sqrt{29} }{\sqrt{3} }$

⇔   $l = \frac{\sqrt{87} }{3}\,\,m.$

Substituindo o valor de $l$ em $(I)$, temos:

$h = \frac{29 - (\frac{\sqrt{87} }{3})^2 }{4\frac{\sqrt{87} }{3} }$

⇔   $h = \frac{29 - \frac{87}{9} }{4\frac{\sqrt{87} }{3} }$

⇔   $h = \frac{\frac{174}{9} }{4\frac{\sqrt{87} }{3} }$

⇔   $h = \frac{29}{2\sqrt{87} }$

⇔   $h = \frac{\sqrt{87} }{6}\,\,m.$

Portanto, as dimensões que maximizam o volume da caixa são:

Lado da base quadrada: $l = \frac{\sqrt{87} }{3}\,\,m;$

Altura: $h = \frac{\sqrt{87} }{6}\,\,m.$

Para as quais o volume é igual a:

$V = l^2h$

⇔   $V = (\frac{\sqrt{87} }{3})^2\,.\,\frac{\sqrt{87} }{6}$

⇔   $V = \frac{87}{9}\,.\,\frac{\sqrt{87}}{6}$

⇔   $V = \frac{29\sqrt{87} }{18} \,\,m^3.$