Um fabricante quer produzir latas de extrato de tomate no formato cilíndrico que tenham volume igual a V = 327 cm³ = 327 ml. Desprezando a espessura das lâminas metálicas usadas para a fabricação da lata e admitindo que o custo de fabricação é proporcional à área da superfície da lata (área lateral mais as áreas das tampas de cima e de debaixo), determine (caso existam) as dimensões (raio da base e altura) da lata cilíndrica que tenha volume V = 327 cm³ = 327 ml e que minimize o custo. Assinale a alternativa que contenha o raio da base e altura, respectivamente.
Soluções para a tarefa
Resposta:
r~3,73 cm e h~7,46 cm
Explicação passo-a-passo:
O volume da lata V=327 cm^3 é dado pela seguinte expressão:
r^2. pi. h = 327 (I)
onde r é o raio da base ou da tampa, e h sua altura, ambas em cm.
A área superficial AS da lata é dada por:
AS= area base + area tampa + area lateral
AS= r^2. pi + r^2. pi + 2.pi.r.h
AS= 2.pi.r^2 + 2.pi.r.h (II)
De (I), h= 327/(r^2. pi). Substituindo em (II), temos:
AS= 2.pi.r^2 + 2.pi.r.327/(r^2. pi)
AS= 2.pi.r^2 + 654/r
AS= 2.pi.r^2 + 654. r^(-1)
Para o custo ser mínimo, então AS deve ser mínimo, ou seja:
AS' = 0
4.pi.r - 654.r^(-2) = 0
4.pi.r = 654.r^(-2)
4.pi.r = 654/ r^2
4.pi.r^3 = 654
r= raizcub(654/(4.pi))
r~ 3,73356 cm
Logo:
h= 327/(r^2. pi)
h~ 7,46711 cm
De fato:
3,73356^2. pi. 7,46711 ~ 327 cm^3
Assim, para r~3,73 cm, e h~7,46 cm, a lata terá o menor custo.
Blz?
Abs :)
Resposta:
4) Um fabricante quer produzir latas de extrato de tomate no formato cilíndrico que tenham V= 327 cm3 = 327 ml. Desprezando a espessura das lâminas metálicas usadas para a fabricação da lata e admitindo que o custo de fabricação é proporcional à área da superfície da lata (área lateral mais as áreas das tampas de cima e de baixo), determine as dimensões (raio e altura) da lata cilíndrica que tenha esse volume e minimize o custo. Resp. r = 3,73 cm e h = 7,48 cm
Explicação passo-a-passo: