Question

Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante vendera por mês (600-x) unidades, em que 0<x<600. assinale a alternativa que representa o numero de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. 
a)150 
b)250 
c)350 
d)450 
e)550

Answer 1

$(x -300).(600-x) = \\ \\ 600x- x^{2} -180000 +300x= \\ \\ - x^{2} +900x-180000.(-1)= \\ \\ x^{2} -900x+180000$ 

Δ = b² - 4 .a .c 

Δ = (-900)² - 4 .1 . 180000 

Δ = 810000 - 720000 < x < 600 

   = 90000 < x < 600 

   = x > $\frac{90000}{600}$

   = x > 150  

Answer 2

Quando forem vendidas 150 unidades, o lucro será máximo

Observe que o preço de venda multiplicado pela quantidade de peças vendidas menos o preço de custo multiplicado pela quantidade de peças vendidas nos dará o lucro.

Como para produzir a peça o custo é de R$300,00 e cada uma será vendida a x reais, então a função lucro será definida por:

L(x) = x(600 - x) - 300(600 - x)

L(x) = (x - 300)(600 - x).

L(x) = 600x - x² - 180000 + 300x

L(x) = -x² + 900x - 180000

Temos aqui uma função do segundo grau. Como a = -1 < 0, então podemos afirmar que a parábola que descreve o lucro possui concavidade para baixo.

Como queremos saber o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo, então vamos calcular o vértice da parábola: $V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$.

Como a = -1, b = 900 e c = 180000, temos que:

$V=(-\frac{900}{2.(-1)},-\frac{900^2-4.(-1).180000}{4.(-1)}})$

$V=(\frac{900}{2},\frac{1530000}{4})$

V = (450,382500)

ou seja, 450 unidades.

Logo, 600 - 450 = 150.

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