Um fabricante de artigos de plásticos possui em estoque máximo de 1.200 caixas transparentes em
sua fábrica1 e um estoque máximo de 1.000 caixas em sua fábrica2. O fabricante recebeu pedidos
mínimos deste produto provenientes de 3 diferentes varejistas nas quantidades de 1.000, 700 e 500
caixas, respectivamente. Os custos unitários de expedição (em centavos por caixa) desde a fábrica até o
varejista são os seguintes:
Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3
Fábrica 1 14 13 11
Fábrica 2 13 13 12
Qual o programa de expedição que atende a demanda a partir do estoque disponível a um custo mínimo?
Soluções para a tarefa
Resposta:
O programa de expedição que atende a demanda com custo mínimo é o representado abaixo:
Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3
Fábrica 1 0 700 500
Fábrica 2 1000 0 0
O custo mínimo é 27.600.
Explicação passo a passo:
Abaixo o programa de expedição.
V1 V2 V3
F1 x1 x2 x3
F2 y1 y2 y3
As condições para atendimento das demandas e dos estoques máximos por fábrica são:
1000 = x1 + y1 (pedido varejista 1) (a)
700 = x2 + y2 (pedido varejista 2) (b)
500 = x3 + y3 (pedido varejista 3) (c)
z1 = x1 + x2 + x3 (total expedido da fábrica 1)
z2 = y1 + y2 + y3 (total expedido da fábrica 2)
2200 = z1 + z2 (total expedido das duas fábricas)
O custo total de expedição pode ser escrito como abaixo:
C = 14 * x1 + 13 * x2 + 11 * x3 + 13 * y1 + 13 * y2 + 12 * y3
Agrupando os termos envolvendo x1 e y1, x2 e y2, x3 e y3:
C = x1 + 13 * x1 + 13 * y1 +
13 * x2 + 13 * y2 +
11 * x3 + 11 * y3 + y3
C = x1 + 13 * (x1+y1) + 13 * (x2+y2) + 11 * (x3+y3) + y3
Substituindo os termos entre parênteses pelas equações a, b e c obtidas acima:
C = x1 + 13 * 1000 + 13 * 700 + 11 * 500 + y3
C = x1 + y3 + 13.000 + 9.100 + 5.500
C = x1 + y3 + 27600
As condições sobre x1 e y3 são:
0 < = x1 <= 1000, pois podem ser expedidos 0 até 1.000 caixas da fábrica 1 para o varejista 1, já que o estoque máximo da fábrica 1 é 1.200 e o pedido do varejista 1 é 1.000 caixas.
0 <= y3 <= 500, pois podem ser expedidos 0 até 500 caixas da fábrica 2 para o varejista 3, já que o estoque máximo da fábrica 2 é 1.000 e o pedido do varejista 3 é de 500 caixas.
Mas o mínimo de C = x1 + y3 + 27600 ocorre quando x1=0, y3=0. Escrevendo esses valores no programa de expedição:
V1 v2 V3
F1 0 ? 500
F2 1000 ? 0
Como a fábrica 2 pode expedir no máximo 1.000 caixas, o valor da coluna do meio na segunda linha tem de ser 0, e o programa fica:
V1 v2 V3
F1 0 ? 500
F2 1000 0 0
Para atender ao varejista 2, o valor do meio na primeira coluna tem de ser 700, e o programa fica:
V1 v2 V3
F1 0 700 500
F2 1000 0 0
Calculando o custo neste caso, que será o custo mínimo:
C = 27600 + x1 + y3 = 27.600