Question

Um estudante de edificações do IFAL utiliza um teodolito para determinar a altura de um prédio construído em um terreno plano. A uma determinada distância desse prédio, ele vê o topo do prédio sob um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 60 metros, passa a ver o topo do prédio sob um ângulo de 60°.
Considerando que a base do prédio está no mesmo nível da luneta do teodolito, qual a altura deste prédio?

Answer 1

Olá ! 

Como temos o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente usaremos a tangente. 

Note que em ambos a altura h é a mesma ... 

assim ... 

tan 30º = h/(60 + x) 

√3/3 = h/(60+x) 

(60+x).√3 = 3h 

h = [(60+x).√3]/3

e 

tan 60º = h/x 

√3 = h/x   

substituindo ... 

√3 = {[(60+x).√3]/3}/x 

√3 = {[(60 + x)√3]/3x 

3x.√3 = (60 + x).√3   

3x = 60 + x 

3x - x = 60 

2x = 60 

x = 60/2 

x = 30 

Agora que tenho a valor de x, basta calcular a tangente novamente ... 

tan 60º = h/x 

√3 = h/30 

h = 30√3 metros  é a altura do prédio.        

Veja a imagem para facilitar o entendimento.                                        ok 

Answer 2

A altura do prédio é o cateto oposto dos dois angulos, sendo que um é de  30graus e outro é de 60graus.

A além dos angulos diferentes , outra diferença entre as duas medidas é que o cateto adjacente. No primeiro angulo o cateto adjacente é 60metros + x e no segundo angulo o cateto adjacente é x.

A fórmula da tangente de um angulo é igual a 
cateto oposto / cateto adjacente

No primeiro angulo, 30graus, a tangente é calculada por  h / (60+x)
No segundo angulo, 60graus, a tangente é calculada por h/x

Só que tan(30graus) = √3/3
e temos que tan(60graus) = √3

então ficamos com duas equações, duas incógnitas
h/(60+x) = √3/3 e
h/x = √3 ou ... h = x.√3

Podemos então substituir
 x.√3/ (60+x) =  √3/3
√3 3 x  = √3 (60+x) 
3x = 60+x
2x = 60
x = 30
Então x+60 = 90
Essas são as distancias dos pontos de observação para a base do prédio. Mas não é isso que queremos . Queremos a altura

a altura é igual a h = x. √3 , como x é 30, entao h = 30√3