Question

Um engenheiro químico precisa obter as dimensões de uma lata cilíndrica de volume fixo " V " de forma que a quantidade de material a ser utilizado para sua fabricação seja a menor possível. Quais são essas dimensões?

a) A lata cilíndrica, de volume fixo e área máxima, tem altura igual ao dobro do raio.
b) A lata cilíndrica, de volume fixo e área máxima, tem altura igual ao raio.
c) A lata cilíndrica,de volume fixo e área máxima, tem altura igual a metade do raio.
d) A lata cilíndrica,de volume fixo e área minima, tem altura igual ao dobro do raio.
e)A lata cilíndrica,de volume fixo e área máxima, tem altura igual ao triplo do raio.

Answer 1

Utilizando multiplicadores de Lagrange, temos que a altura vale  odobro do raio, Letra d).

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão de multiplicadores de Lagrange, onde existe uma função f que queremos maximizar ou minimizar, e uma função g sendo a condição.

Este metodo nos diz que:

$\nabla f(x^i)=\lambda.\nabla g(x^i)$

E então vamos encontrar as funções do nosso problema.

A função f do nosso problema, que queremos minimizar é a função área, para minimizar os custos:

$A(r,h)=2\pi.r^2+2\pi.r.h$  (área do cilindro).

E a nossa função condição é o volume:

$V(r,h)=\pi.r^2.h=V_0$   (volume do cilindro).

Onde Vo é um valor constante.

Então fazendo as derivadas:

$\frac{dA}{dr}=\lambda.\frac{dV}{dr}$

$\frac{dA}{dh}=\lambda.\frac{dV}{dh}$

Temos:

$(4\pi.r+2\pi.h)=\lambda.(2\pi.r.h)$

$(2\pi.r)=\lambda.(\pi.r^2)$

Agora temos estas duas equações e para simplificar vamos dividir a de cima pela de baixo:

$\frac{4\pi.r+2\pi.h}{2\pi.r}=\frac{\lambda.(2\pi.r.h)}{\lambda(\pi.r^2)}$

$2+\frac{h}{r}=\frac{2h}{r}$

$2=\frac{2h}{r}-\frac{h}{r}$

$2=\frac{h}{r}$

$h=2r$

Então temos a nossa condição, para esta área ser minima, precisamos que a altura seja duas vezes o raio. Letra d).