Question

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log ( x ), conforme a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo quemo eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é ;

Answer 1

Olá Alisson. 


Irei anexar uma imagem abaixo para elucidar melhor a resposta.

Propriedades logarítmicas usadas:


$\boxed{\boxed{\mathsf{\ell og_a(b)=y~\Rightarrow~a^y=b}}}\qquad\qquad\mathsf{a\neq1}~~,~~\mathsf{a>0}~~e~~\mathsf{b>0}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{\ell og(b)=\ell og_{10}(b)}}}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{\ell og(b^x)\Rightarrow x\cdot \ell og(b)}}}$

______________


Pelas informações do enunciado, temos que o eixo x divide ao meio a altura do vidro. Portanto, temos que do y inicial (y = 0) até o topo, a medida é de $\mathsf{\frac{h}{2}}$.

De forma análoga, da base até a metade da altura medira: $\mathsf{-\frac{h}{2}}$  (como está abaixo do eixo x, seu valor é negativo).

Pelas informações da imagem, temos que y está em função de x:

$\mathsf{y=\ell og(x)}$

Já o valor de n, é obtido pela diferença do x final pelo x inicial (essa informação está contida na imagem).

$\mathsf{n=x_f-x_i}$

Com essas informações é possível obter as seguintes relações:

 $\mathsf{\dfrac{h}{2}=\ell og(x_f)~\Rightarrow~10^{\frac{h}{2}}=x_f}}\\\\\\\mathsf{-\dfrac{h}{2}=\ell og(x_i)~\Rightarrow~10^{-\frac{h}{2}}=x_i}$


Subtraindo o x final pelo o inicial:


$\mathsf{x_f-x_i=10^{\frac{h}{2}}-10^{-\frac{h}{2}}}\\\\\mathsf{n=10^{\frac{h}{2}}-10^{-\frac{h}{2}}}\\\\\mathsf{n=\underbrace{\mathsf{10^{\frac{h}{2}}}}-(10^{\frac{h}{2}})^{-1}}\\~~~~~~~~\mathsf{y}\\\\\mathsf{n=y-y^{-1}}\\\\\mathsf{n=y-\dfrac{1}{y}~\cdot(y)}\\\\\mathsf{ny=y^2-1}\\\\\mathsf{y^2-ny-1=0}\\\\\\\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\mathsf{\Delta=(-n)^2-4\cdot1\cdot(-1)}\\\mathsf{\Delta=n^2+4}$

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\\mathsf{y^+=\dfrac{-(-n)+\sqrt{n^2+4}}{2\cdot 1}\qquad\qquad\qquad\qquad y^-=\dfrac{-(-n)-\sqrt{n^2+4}}{2\cdot 1}}\\\\\\\mathsf{y^+=\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad y^-=\dfrac{n-\sqrt{n^2+4}}{2}}$


A partir daqui é importante lembrar que um valor elevado a qualquer expoente, sempre resultará em um número positivo, ou seja, maior que 0.

$\mathsf{y=10^\frac{h}{2}\ \textgreater \ 0}$

Como podemos ver, o $\mathsf{y^+}$ claramente é positivo, por não obter nenhum operador de subtração. Mas o $\mathsf{y^-}$ possui um operador de subtração. Precisamos então checar se ele será maior que 0:


$\mathsf{y^-=\dfrac{n-\sqrt{n^2+4}}{2}\ \textgreater \ 0}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n}{2}-\dfrac{\sqrt{n^2+4}}{2}\ \textgreater \ 0}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n}{2}\ \textgreater \ \dfrac{\sqrt{n^2+4}}{2}~\cdot(2)}\\\\\\\mathsf{(n)^2\ \textgreater \ (\sqrt{n^2+4})^2}\\\\\\\mathsf{n^2\ \textgreater \ n^2+4}\\\\\\\mathsf{n^2-n^2>4}\\\\\\\mathsf{0>4~~\gets~~Absurdo.}$


Como vimos, a sentença acima resultou em um absurdo, portanto $\mathsf{y^-}$ não pode ser um dos resultados.

Temos então:


$\mathsf{10^{\frac{h}{2}}=\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}}\\\\\\\mathsf{\ell og(10^\frac{h}{2})=\ell og\Big(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\Big)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{h}{2}\cdot \ell og(10)=\ell og\Big(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\Big)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{h}{2}\cdot 1=\ell og\Big(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\Big)}\\\\\\\boxed{\mathsf{h=2\cdot \ell og\Big(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\Big)}}$


Dúvidas? comente.