Question

Um engenheiro projetou a construção de uma ponte que irá interligar dois bairros de uma cidade. Para realizar esse projeto, ele fez algumas medidas e, em seguida, desenhou um esboço, representando os bairros por P e por Q. Além disso, ele representou por O, o ponto de onde mediu o ângulo entre os locais que essa ponte irá interligar. Também, traçou uma linha pontilhada para representar a extensão da ponte. Esse esboço está apresentado na figura abaixo.

De acordo com o esboço desenhado por esse engenheiro, essa ponte terá, no mínimo, quantos quilômetros de extensão?
a)√7 km.
b)√13 km.
c)√37-10·√3 km.
d)√67 km.
e)3+2√22 km.

Answer 1

Para determinar o comprimento da ponte, utilizaremos uma relação métrica do triângulo conhecida como lei dos cossenos.

Sendo um triângulo de lados medindo a, b e c; e ângulos A, B e C (conforme imagem abaixo), estabelece-se a seguinte relação:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot Cos A$

Aplicando essa relação métrica no triângulo dessa questão (sendo a o lado que precisamos descobrir), temos:

$a^2=5^2+(2 \sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot Cos30^o\\\\a^2=25+12-10 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} \\\\a^2=37-10 \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{9} }{2} \\\\a^2=37-10 \cdot \sqrt{9} \\\\a^2=37-10 \cdot 3 \\\\a^2=37-30\\\\a^2=7\\\\a=\sqrt{7}$

Portanto, o comprimento mínimo da ponte será $\sqrt{7} km$. Alternativa A