Matemática, perguntado por Paulinhoalves01, 4 meses atrás

Um engenheiro eletricista realizou o levantamento de uma carga e verificou que esta pode ser demonstrada pela integral imprópria: ∫1∞dx(x+1)3 . Considerando esta integral, analise as afirmações a seguir: I. Essa integral é convergente. II. O integrando possui assíntota para x = 1. III. Essa integral é divergente. IV. O valor dessa integral é 1/8. É correto o que se afirma em: Escolha uma opção: I , II e IV, apenas. I e IV, apenas. I e III, apenas I, apenas. II, apenas.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

Realizando os cálculos corretamente e tendo conhecimento do assunto, concluímos que as afirmações corretas são: $\boxtimes$ I e IV

Temos a seguinte integral imprópria:

$\boxed{\displaystyle\bold{ \int ^{\infty }_1 \dfrac{dx}{(x+1)^3}}}$

Vemos que uma parte dessa integral é limitada pelo infinito, esse limite pode ser alterado por qualquer letra.

$\displaystyle\rm{ \lim_{b\to \infty}\int ^{b }_1 \dfrac{dx}{(x+1)^3}}$

Se quisermos encontrar o valor dessa integral, para integral uma integral elemental existem vários métodos que nos permitem fazer isso. Em nossa integral usaremos o método de substituição ou mudança de variável. No nosso caso vamos mudar a expressão do denominador da nossa fração para qualquer nova variável.

Vamos aplicar a substituição de variáveis atribuindo a letra "u" como a expressão do denominador.

$\rm u=x+1$

Esta expressão deve ser derivada em relação a "x", de forma que permaneça a seguinte expressão que expressa a derivada da variável.

$\rm \dfrac{du}{dx}=x+1$

Essa derivada é um tanto primitiva, pois só precisamos derivar "x" porque a derivada de uma constante é 0.

Lembre-se que a derivada de x é igual a 1, então a expressão para a derivada será igual a:

$\rm \dfrac{du}{dx}=1\Longrightarrow du=1 dx\Longrightarrow du = dx$

Substituindo essas variáveis em nossa integral, devemos obter:

$\displaystyle \rm{\int \dfrac{du}{u^3}=\int \dfrac{1}{u^3}du}$

Para integral de forma mais simples podemos aplicar as leis dos expoentes para obter uma variável ainda mais simples.

$\displaystyle \rm{\int u^{-3}du}$

Neste momento já podemos integrar nossa expressão, se aplicarmos a regra da potência. A expressão seria:

$\boxed{\displaystyle \rm{\int x^{a}dx= \dfrac{x^{a+1}}{a+1}}}$

E quando aplicado à nossa integral temos:

$\displaystyle \rm{ \dfrac{u{-3+1}}{-3+1}=- \dfrac{u^{-2}}{-2}}$

Novamente aplicamos a lei dos expoentes.

$\rm{- \dfrac{\dfrac{1}{u^{2}}}{2}= -\dfrac{1}{2u^2}}$

Substituindo o valor da variável em relação a x para mostrar que estamos integrando cob em relação à variável x e não à variável u.

$\rm{ -\dfrac{1}{2(x+1)^2}}$

Neste momento, os limites de integração da integral definida assumirão o controle.

$\rm{ \lim_{b\to\infty}\left[-\dfrac{1}{2(x+1)^2}\right]^b _1}$

$\rm{ \lim_{b\to\infty}\cancel{\left[-\dfrac{1}{2(b+1)^2}\right]}^0 -\left[-\dfrac{1}{2(1+1)^2}\right]}$

$\rm{ \dfrac{1}{2(4)}\Longrightarrow \boxtimes ~\boxed{\bold{ \dfrac{1}{8}\checkmark}}}$

O valor da integral imprópria é igual a 1/8, pois o valor dessa integral se for um número podemos concluir que a integral existe e essa integral é convergente.

Se calcularmos a assíntota para a expressão do denominador tendo encontrado que o valor deve ser igual a 0, obtemos:

$\displaystyle \rm{x+1=0}\\ \\ \displaystyle \rm{x=-1}$