Um empréstimo será pago em 5 parcelas mensais de R$ 20.000,00, com uma carência de 4 meses, a uma taxa de juros composto de 2% ao mês. O valor à vista do empréstimo é de (despreze os centavos) ????
Soluções para a tarefa
Resposta:
O Valor a vista do empréstimo é R$88.832,00
Explicação passo a passo:
Comentário: exercício típico de uso da calculadora HP e deslocar o dinheiro para a data zero. A seguir vamos dissertar sobre o assunto, mas sem calculadora HP. Ainda, basta a fórmula M = C(1 + i)^t (composto) e J = C i t (simples) para fazer qualquer conta de matemática financeira.
Pergunta: é bom saber mais outras tipo PMT, transformação de taxas ajuda, mas não é o essencial se você estiver em dia com os principais conceitos da Matemática Financeira, P.A. e P.G.
Sistema de Juro: Composto. Juros simples só existe em reino encantado e com benção de fada madrinha. Mas há uma exceção de pequeno detalhe. Se por acaso você for receber ou pagar juros sobre um valor, cujo período esteja em 0 < t < 1, t o tempo menor que 30 dias, aí, claro, entra a Regra de Ouro que diz: Quem tem o ouro faz as regras. Explicação: No intervalo 0 < t < 1 o juros simples é maior que juros compostos. Suponha que você atrasou sua prestação do condomínio por 10 dias. Esse atraso será cobrado por juros simples por ser maior que o composto. Isso pode ser visto facilmente no gráfico dos dois sistemas de juros logo abaixo. No te que juros simples é linear e juros compostos é exponencial.
Linha do Tempo: Imprescindível na matemática financeira. Sempre faça um desenho da linha do tempo. R$100,00 hoje não é mais R$100,00 daqui a 30 dias. Imagine a inflação de 10%. Logo, depois de um mês, R$100.00 passa a ser R$110,00. Análogo para demais quantias.
|________|__________|__________|__________|_______ tempo
0 1 2 3 4
Zero chamada de data zero → presente → o agora
1, 2, 3, qualquer data dessas pode ser escolhida como o futuro.
O intervalo entre 0 e 1, 1 e 2, e assim por diante é o período. pode ser dia, semana, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre e ano.
Lembre: qualquer período fracionado o sistema de juro a ser pago ou recebido é o Juro Simples por ser maior que o composto conforme já comentamos.
Solução do Exercício:
Carência de 4 meses: significa depois da data zero devem ser contados quatro períodos (4 meses) para pagar a primeira parcela de R$20.000,00.
20000 20000 .... 20000
|______|______|______|______|________|_______|________|_____
0 1 2 3 4 5 ... 9
Esse é o fluxo de de caixa do empréstimo.
Para começar a entender devemos estabelecer uma nova data zero, onde não carência que é a partir da data 4. Logo data 4 é a nova data zero.
20000 20000 20000 20000 20000
|__________|___________|____________|__________|_______ tempo
0 1 2 3 4
Agora, devemos trazer todas as prestações fixas de 200000 para a data zero (data 4)
Fixando: a 10% a.m. R$100,00 daqui 3 meses (o futuro) o que você faz? Multiplica por (1 + 0,1)^3 que vai dar um montante de R$133,10. E se você quiser trazer R$133,10 do futuro para o presente, para a data zero, o que você faz? Divide o montante 133,10/(1 + 0,1)^3 que vai dar R$100,00 o que já era esperado.
Esse é o raciocínio que vamos usar agora para trazer todas as prestações fixas de 20.000 reais para data zero (data 4), na taxa 2%a.m. O Exercício pede para desprezar os centavos, assim faremos:
prestação 1 → 20000
prestação 2 → 20000/(1 + 0,02)^1 = 19608
prestação 3 → 20000/(1 + 0,02)^2 = 19223
prestação 4 → 20000/(1 + 0,02)^3 = 18846
prestação 5 → 20000/(1 + 0,02)^4 = 18477
Sendo assim, todas as cinco prestações estão na data zero antes da carência (data 4). Agora vamos levar a soma de todas as prestações para o presente, o agora, para o valor à vista:
20000 + 19608 + 19223 18846 + 184777 = 96155 reais.
Trazendo esse montante para data zero no preço a vista;
M = C(1 + i)^t
96155 = C((1,02)^4 = 1,08243210 . C
C = 96155/(1,08243210 )
C = 88.832 reais
Sebastião Paulo
26/11/2021
SSRC
Gráfico: Juro Simples x Juro Composto
