Question

Um elevador sobe e desce com aceleração inicial idêntica e igual a "a". Em seu teto está preso um pêndulo simples que oscila durante toda a movimentação do elevador. Se o pêndulo tem o comprimento L de 49 cm e são observados períodos de oscilação de 1,3914s e 1,5954s durante a movimentação do elevador, quais são os valores esperados para a gravidade local e para a aceleração do elevador?

Answer 1

$L=49cm\to0,49m$
$T_1=1,3914s$
$T_2=1,5954s$

Sabemos que quando o elevador sobe, a aceleração resultante é a gravidade mais a aceleração do próprio elevador, e isso resulta em jm período menor no pêndulo.

Se o elevador desce, a aceleração resultante é a gravidade menos a aceleração do próprio elevador, consequentemente, o período do pêndulo será maior.

Mostrando isso algebricamente:

$\mathsf{T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}}$

$\begin{cases}1,3914=2\pi\sqrt{\dfrac{0,49}{g+a}}\\\\1,5954=2\pi\sqrt{\dfrac{0,49}{g-a}}\end{cases}$

$\begin{cases}1,3914=2\pi\dfrac{0,7}{\sqrt{g+a}}\\\\1,5954=2\pi\dfrac{0,7}{\sqrt{g-a}}\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt{g+a}=\dfrac{2\pi\cdot0,7}{1,3914}\\\\\sqrt{g-a}=\dfrac{2\pi\cdot0,7}{1,5954}\end{cases}$

A partir de agora vamos fazer os cálculos separados. Primeiro iremos simplificar a primeira equação:

$\mathsf{\sqrt{g+a}=\dfrac{2\pi\cdot0,7}{1,3914}}$

$\mathsf{\sqrt{g+a}=\dfrac{1,4\pi}{1,3914}}$

Repare que se dividirmos 1,4 por 1,3914 irá resultar em um quociente um pouco maior do que 1, algo do tipo 1,006. Por enquanto, iremos considerar como 1, mas esse "pouquinho" vamos usar no final.

$\mathsf{\sqrt{g+a}\simeq1\cdot\pi}$

Lembre que π ao quadrado é quase igual a 10, mas nesse caso faremos como se fosse 10 por causa daquele "pouquinho" da divisão, lembra?

$\mathsf{g+a\simeq10}$

Simplificada a primeira equação, agora vamos à segunda:

$\mathsf{\sqrt{g-a}=\dfrac{2\pi\cdot0,7}{1,5954}}$

Repare que 1,5954 é praticamente a metade de π, então vamos aproximar o quociente dessa divisão pra 2.

$\mathsf{\sqrt{g-a}\simeq2\cdot2\cdot0,7}$

$\mathsf{g-a\simeq(2,8)^2}$

$\mathsf{g-a\simeq7,84}$

Simplificadas as equações, vamos voltar ao sistema:

$\begin{cases}g+a=10\to g=10-a\\g-a=7,84\end{cases}$

Substituindo uma na outra:

$\maths{(10-a)-a=7,84}$

$\mathsf{10-2a=7,84}$

$\mathsf{2a=10-7,84}$

$\boxed{\mathsf{a=1,08\mbox{ }m/s^2}}$

Calculando g:

$\mathsf{g+a=10}$

$\mathsf{g+1,08=10}$

$\boxed{\mathsf{g=8,92\mbox{ }m/s^2}}$

Então:

$\begin{matrix}g=8,92\mbox{ }m/s^2\\a=1,08\mbox{ }m/s^2\end{matrix}$