Question

Um dos métodos de resolução de sistemas lineares são os métodos iterativos. Por exemplo, veja sistemas como este a seguir:

y - 5z = 8
x + 10y = 20
10x + 3z = 5

Nesse sistema, devemos escolher valores iniciais para x, y e z e definir um erro.


Assinale a alternativa que representa a solução do sistema linear apresentado usando o método de Gauss-Seidel com aproximação de uma casa decimal.


a. x=0,9; y=1,9 e z=-1,2.


b. x=0,9; y=1,9 e z=1,2.


c. x=-0,9; y=1,9 e z=-1,2.


d. x=-0,9; y=1,9 e z=1,2.


e. x=0,9; y=-1,9 e z=1,2.

Answer 1

Resposta:

A alternativa correta é a a) x=0,9; y=1,9 e z=-1,2.

Explicação passo a passo:

O método de Gauss-Seidel tem um critério de convergência: a matriz do sistema de equações deve estar na forma diagonalmente dominante, isto é, o módulo do elemento na diagonal i deve ser maior que a soma dos elementos restantes na mesma linha. Ou seja:

           $|a_{ii}| > \sum_{j<>i}|a_{ij}|$

Vamos reorganizar as equações para que a matriz fique nessa forma:

10*x +  0*y + 3*z = 5

1*x + 10*y + 0*z = 20

0*x +  1*y - 5*z = 8

Escrevendo as equações do método de Gauss-Seidel:

xk+1 = 1/10 * (5 - 0*yk-1 - 3*zk-1)

yk+1 = 1/10 * (20 - 1*xk-1 - 0*zk)

zk+1 = -1/5 * (8 - 0*xk-1 -1*yk)

 Podemos fazer o cálculo usando uma planilha do tipo Excel ou LibreOffice Calc, conforme a figura, obtendo:

x=0,86 ≈ 0,9

y=1,91 ≈ 1,9

z=-1,21 ≈ -1,2