um determinado triângulo retângulo possui uma hipotenusa que mede 13 cm e seus catetos possuem dissensões desconhecidas, digamos que essas medidas podem ser chamadas de x e y. Descubra a área (em cm²) da região determinada por esse triangulo sabendo que seu perímetro é de 30 cm e que x < y.
Soluções para a tarefa
Resposta: Área = 30cm²
Explicação passo-a-passo:
Olá,
* primeiramente vamos explanar a fórmula do perímetro de um triângulo, dada por:
P = L + L + L
onde cada termo “L” representa seus catetos mais a hipotenusa.
* como o enunciado nomeia os catetos como ”x” e “y”, vamos calcular a fórmula do perímetro do triângulo sabendo que P= 30 e a hipotenusa= 13.
Em seguida vamos isolar o termo “x” pois o enunciado diz que x<y.
P = L + L + L
P = x + y + L
30 = x + y + 13
30 - 13 = x + y
17 = x + y
x + y = 17
x = 17 - y
* agora vamos encontrar o valor do termo “y” através da teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
onde chamaremos,
a² = hipotenusa= 13²
b= cateto “x” = (17 - y)²
c = cateto “y” = ?
13² = (17 - y)² + y²
169 = 17² - 2•17•y + y² + y²
169 = 289 - 34y + 2y²
0 = 289 - 169 - 34y + 2y²
2y² - 34y + 120 = 0
* temos uma equação do 2° grau, então calculamos teorema de Bhaskara:
2y² - 34y + 120 = 0
a= 2, b= -34, c= 120
x = (-b + - √Δ)/2•a
x = (-b + - √b²- 4•a•c)/2•a
x = ( -(-34) + - √(-34)² - 4•2•120)/2•2
x = (34 + - √1.156 - 960)/4
x = (34 + - √196)/4
X = (34 + - 14)/4
* resolvendo as raízes:
x1 = (34 + 14)/4
x1 = 48/4
x1 = 12
x2 = (34 - 14)/4
x2 = 20/4
x2 = 5
* como o enunciado diz x<y então renomeamos uma das raízes como sendo “y” e temos que:
x= 5 e y= 12
* por fim, calculando a área do triângulo temos a seguinte fórmula:
At = (a•h)/2
onde,
At = Área do triângulo
a= base= 12
h= atura= 5
At= (12•5)/2
At = 60/2
At = 30cm²
Espero ter ajudado!