Question

Um determinado tipo de arvore cresce de acordo com a função h(t)= 24t+4/t+2 , em que h representa a altura da arvore, em metros, e o t o tempo, em anos, desde que foi plantada. a) Qual a altura da árvore quando foi plantada? b) Quanto tempo leva para a arvore atingir 22 metros de altura? c) Qual a altura maxima que essa arvore pode atingir?

Answer 1

Boa tarde!


a) Qual a altura da árvore quando foi plantada? 

Ela foi plantada no t = 0, substituindo na fórmula temos:

h(t) = 24t + 4/t+2
h(0) = 24 * 0 + 4/0+2
h(0) = 0 * 4/2
h(0) = 2

A altura da árvore quando foi plantada é de 2 metros.


b) Quanto tempo leva para a arvore atingir 22 metros de altura?

Aqui temos h(t) = 22 metros, substituindo na fórmula temos:

h(t) = 24t + 4/t+2
22 = 24t + 4/t+2
22 * (t+2) = 24t² + 48t + 4
22t + 44 = 24t² + 48t + 4
0 = 24t² + 26t - 40 (dividiremos ambos os lados por 2, isso não altera o resultado, mas facilita as contas)


Calculando t pela fórmula de Bhaskara:

t = [-26 + √(26² - 4*24*(-40))] / 2*24
t = -26 + √(676 + 3840) / 48 
t = -26  + 4516 / 48
t = 4490/48
t = 93,54

O tempo será de aproximadamente 93,54 anos para a árvore atingir 22 metros.


c) Qual a altura máxima que essa arvore pode atingir?

Faz-se o cálculo por limite:

lim h(t) com t ⇒ ∞

Temos que quanto maior o tempo t, maior será 24t e a soma 24t + 4 é aproximadamente 24t.

De forma análoga t + 2 é aproximadamente t, assim, (24t+4) / (t+2) = 24t/t = 24m


Portanto, a altura máxima que essa arvore pode atingir é 24 metros.


Abraços!