Question

UM determinado produto e vendido em tres vezes iguais e sem juros ou a vista com 20% de desconto> Qaul a taxa mensal de juros implicita neste financiamento?.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Daniela, que a resolução é simples, se você considerar um valor fixo para o valor à vista.
Digamos que, para facilitar nos cálculos,  o valor do produto fosse de R$ 300,00 para compra à vista.
Mas se a compra for a prazo, então o vendedor diz: bem, você poderá pagar em três prestações fixas de R$ 100,00 cada uma, mas você terá que dar uma entrada de 20% (ou 0,20).
Assim, deveremos trazer para o valor presente as três prestações de R$ 100,00 cada uma pelo fator (1+i)¹, para o 1º mês; (1+i)², para o 2º mês; e (1+i)³, para o 3º mês.
E o valor dessas três prestações, assim trazido para o valor presente, deverá ser igual ao valor à vista (R$ 300,00) menos a entrada (20% ou 0,20) do valor à vista. Assim, você fará isto:

300 - 0,20*300 = 100/(1+i) + 100/(1+i)² + 100/(1+i)³
300 - 60 = 100/(1+i) + 100/(1+i)² + 100/(1+i)³
240 = 100/(1+i) + 100/(1+i)² + 100/(1+i)³ ---- vamos fazer (1+i) = x. Assim, ficaremos da seguinte forma:

240 = 100/x + 100/x² + 100/x³ ---- mmc = x³. Assim, utilizando-o no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

240 = (100*x² + 100*x + 100*1)/x³ --- ou apenas:
240 = (100x² + 100x + 100)/x³ --- multiplicando-se em cruz, teremos:
240*x³ = 100x² + 100x + 100 --- ou apenas:
240x³ = 100x² + 100x + 100 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos com:

240x³ - 100x² - 100x - 100 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "100", com o que ficaremos apenas com:

2,40x³ - x² - x - 1 = 0

Agora veja: se você aplicar as relações de Girard, vai encontrar que a equação do 3º grau aí de cima terá uma única raiz real e igual a:

x' = 1,12044 (bem aproximada)

Mas lembre-se que fizemos (1+i) = x. Assim:

i) Para x = 1,12044, teremos:

1+i = 1,12044
i = 1,12044 - 1
i = 0,12044 ou 12,044% ao mês <--Esta é a resposta. Ou seja, esta seria  taxa de juros implícita na transação do produto acima quando comprado a prazo nas condições propostas pelo vendedor.

Observação: as condições de Girard antes mencionada se resumem no seguinte: uma equação do 3º grau, da forma ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x'' e x''', tem as seguintes relações:

x' + x'' + x''' = -b/a
x'*x'' + x'*x''' + x''*x''' = c/a
x'*x''*x''' = -d/a

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.