Question

um determinado ângulo alfa é tal que tangente de alfa é igual a
$\sqrt{2 }$
. Calcule o seno e o cosseno desse ângulo.​

Answer 1

Resposta:

Para o ângulo α no I Quadrante:

$cos\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $sen\alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$

Para o ângulo α no III Quadrante:

$cos\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $sen\alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$

Explicação passo-a-passo:

$tang\alpha =\sqrt{2} \\\\(tang\alpha)^{2} =(\sqrt{2})^{2} \Rightarrow tang^{2}\alpha =2 \Rightarrow (\frac{sen\alpha }{cos\alpha })^{2}=2 \Rightarrow sen^{2}\alpha =2.cos^{2}\alpha$

Relação fundamental da trigonometria:

$sen^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

Substituindo $sen^{2}\alpha =2.cos^{2}\alpha$ na relação fundamental:

$sen^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1 \Rightarrow 2.cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha =1\Rightarrow 3.cos^{2}\alpha=1\Rightarrow\\\\cos^{2}\alpha=\frac{1}{3} \Rightarrow cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{1}{3}} =\pm\frac{1}{\sqrt{3}} =\pm\frac{1}{\sqrt{3}} .\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Aplicando $cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ em

$sen^{2}\alpha =2.cos^{2}\alpha =2(\frac{\sqrt{3}}{3})^2=2.\frac{{3}}{9}=\frac{6}{9} =\frac{2}{3} \Rightarrow\\ sen^{2}\alpha =\frac{2}{3} \Rightarrow\\sen\alpha =\pm\sqrt{\frac{2}{3}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$

Como $tang\alpha >0$ o ângulo α está no I Quadrante ou III Quadrante.

Para o ângulo α no I Quadrante:

$cos\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $sen\alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$

Para o ângulo α no III Quadrante:

$cos\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $sen\alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$