Question

Um dado é lançado três vezes sucessivamente. Quantas sequências de resultados apresentam soma dos pontos :
a)menor que 8 ?
b)maior que 13 ?

Answer 1

O conjunto de resultados possíveis para apenas um lançamento é $S=\{1,2,3,4,5,6\}$. Para três lançamentos o conjunto das sequências possíveis é o conjunto

$S^{3}=\left\{\left(a,b,c \right ) \mid a,b,c \in S\right\}$

que é o conjunto de todas as sequências de três lançamentos possíveis.


a) menor que $8$:

O conjunto de resultados com somas menores que $8$ é

$A=\left\{\left(a,b,c \right ) \in S^{3}\mid a+b+c<8 \right\}\\ \\ \begin{array}{rl} A=\{&\left(1,1,1 \right ),\left(1,1,2 \right ),\left(1,1,3 \right ),\left(1,1,4 \right ),\left(1,1,5 \right ),\left(1,2,1 \right ),\left(1,2,2 \right ),\left(1,2,3 \right ),\\ &\left(1,2,4 \right ),\left(1,3,1 \right ),\left(1,3,2 \right ),\left(1,3,3 \right ),\left(1,4,1 \right ),\left(1,4,2 \right ),\left(1,5,1 \right ),\\ &\left(2,1,1 \right ),\left(2,1,2 \right ),\left(2,1,3 \right ),\left(2,1,4 \right ),\left(2,2,1 \right ),\left(2,2,2 \right ),\left(2,2,3 \right ),\left(2,3,1 \right ),\\ &\left(2,3,2 \right ),\left(2,4,1 \right ),\\ &\left(3,1,1 \right ),\left(3,1,2 \right ),\left(3,1,3 \right ),\left(3,2,1 \right ),\left(3,2,2 \right ),\left(3,3,1 \right ),\\ &\left(4,1,1 \right ),\left(4,1,2 \right ),\left(4,2,1 \right ),\\ &\left(5,1,1 \right )\} \end{array}$

O conjunto $A$ reúne

$15+10+6+3+1=\boxed{35 \text{ possibilidades}}$


b) maior que $13$:

O conjunto de resultados com somas maiores que $13$ é

$B=\left\{\left(a,b,c \right ) \in S^{3}\mid a+b+c>13 \right\}\\ \\ \begin{array}{rl} B=\{&\left(2,6,6 \right ),\\ &\left(3,5,6 \right ),\left(3,6,6 \right ),\\ &\left(4,4,6 \right ),\left(4,5,5 \right ),\left(4,5,6 \right ),\left(4,6,4 \right ),\left(4,6,5 \right ),\left(4,6,6 \right ),\\ &\left(5,3,6 \right ),\left(5,4,5 \right ),\left(5,4,6 \right ),\left(5,5,4 \right ),\left(5,5,5 \right ),\left(5,5,6 \right ),\left(5,6,3 \right ),\left(5,6,4 \right ),\\ &\left(5,6,5 \right ),\left(5,6,6 \right ),\\ &\left(6,2,6 \right ),\left(6,3,5 \right ),\left(6,3,6 \right ),\left(6,4,4 \right ),\left(6,4,5 \right ),\left(6,4,6 \right ),\left(6,5,3 \right ),\left(6,5,4 \right ),\\ &\left(6,5,5 \right ),\left(6,5,6 \right ),\left(6,6,2 \right ),\left(6,6,3 \right ),\left(6,6,4 \right ),\left(6,6,5 \right ),\left(6,6,6 \right )\} \end{array}$

O conjunto $B$ reúne

$1+3+6+10+15=\boxed{35 \text{ possibilidades}}$.