Question

Um cubo de lado L = 32,0 cm e de densidade ρ = 0,625 g/cm3
é colocado em um recipiente que
recebe água a uma taxa variável.
A altura da superfície de água no recipiente cresce com o tempo na
forma y(t) = (5,0 cm/h²
)t²
, onde o tempo t é medido em horas. Em que instante de tempo, o cubo perde
contato com a superfície inferior do recipiente? . Obs: use g=10m/s² e a densidade da água ρ = 1,0g/cm³.

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado podemos afirmar que o instante de tempo em horas foi de t =  2 horas.

Empuxo é a força do líquido sobre o corpo.

O empuxo é causado pelo aumento da pressão com o aumento da profundidade.

Todo corpo sólido mergulhado num fluido em equilíbrio recebe um força de direção vertical e sentido de baixo para cima cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado.

A intensidade do empuxo é dado por:

$\Large \displaystyle \mathsf{ E = P \Rightarrow E = m_f \: g }$

A densidade e o volume do fluido deslocado, decorre:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_f = \dfrac{m_f}{V_f} \Rightarrow m_f =d_f \; V_f } }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{E =d_f\: V_f \:g } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf L= 32{,}0\: cm \\ \sf d_c = \rho = 0{,}625\: g/cm^{3} \\ \sf y(t) = (5{,}0\: cm/h^{2} ) \: t^{2} \\ \sf t = \:?\: h \\\sf g = 10\: m/s^{2} \\\sf d_L =\rho_{\sf agua} = 1{,}0\: g/cm^{3} \end{cases} } }$

Como o cubo se encontra em equilíbrio, o peso  P do cubo é igual em módulo ao empuxo E.

$\Large \displaystyle \mathsf{ E = P }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{L} \: V_{L} \: g = m_{\sf c} \: g \:\:V_{\sf c} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{L} \: A\: h\diagup\!\!\!{ g} = d_f \diagup\!\!\!{ g} \:\:A\:h_1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{L} \: A\: h = d_f \:A\: L } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{L}\diagup\!\!\!{ A} h = d_f\diagup\!\!\!{ A}L } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ d_L \cdot h = d_c \cdot L }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{1 \cdot h = 0{,}625 \cdot 32{,}0 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h = 20\: cm }$

O enunciado pede que calculemos o instante em horas.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y(t) = (5{,}0\: cm/h^{2} ) \: t^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 20\: \diagup\!\!\!{ cm} = (5{,}0\: \diagup\!\!\!{ cm}/h^{2} ) \: t^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 20 = (5{,}0\: /h^{2} ) \: t^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{20}{5} = \dfrac{5}{5h^2} \cdot t^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{4}{1} = \dfrac{t^{2} }{h^2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ t^{2} = 4h^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{t =\sqrt{4 h^{2} } } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf t = 2\; h }$

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