Question

um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posiçao em função
do tempo dada pela funçao f(t)=40t-5t2 onde a altura f(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos . Calcule :
a) o tempo que o corpo levou para atingir a altura máxima .
b) a altura máxima atingida pelo corpo

Answer 1

Seja a função f(t) = 40t - 5t², ou f(t) = -5t² + 40t, a altura máxima é determinada pelo vértice da parábola, pois é o ponto máximo da função:

$y_{v}=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-\left(b^{2}-4\cdot a\cdot c\right)}{4a}=\\ \\ \\ \dfrac{-\left(40^{2}-4\cdot \left(-5\right)\cdot 0\right)}{4\cdot \left(-5\right)}=\dfrac{-1600}{-20}=80\ m$


O instante em que o corpo atinge a altura máxima é quando a altura é 80 m. Portanto, substituímos o f(t) por 80 na função:

$-5t^{2}+40t=80 \Rightarrow -5t^{2}+40t-80=0$


Dividindo todos os membros por 5:

$-5t^{2}+40t-80=0 \Rightarrow -t^{2}+8t-16=0$


Resolvendo com Bhaskara:

$-t^{2}+8t-16=0\\ \\ t=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}\\ \\ \\ t=\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^{2}-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-16\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}\\ \\ \\ t=\dfrac{-8 \pm \sqrt{64-64}}{-2}\\ \\ \\ t=\dfrac{-8 \pm 0}{-2} \Rightarrow t=\dfrac{-8}{-2} \Rightarrow t=4$


Assim:
a) 4s
b) 80m