Question

Um corpo é lançado para baixo de uma altura de 100m com uma velocidade de 30 m/s. No mesmo instante outro corpo é lançado para cima, a partir do solo, com uma velocidade inicial de 15 m/s. Desprezando os atritos determine:a) o instante aproximado de encontro entre os corpos.b) a posição, em relação ao solo, de encontro entre os corpos.

Answer 1

Olá!

(a) Como o exercício afirma que há o encontro, então o instante em que ambos os corpos chegam na sua velocidade final ($V(t)$)é o mesmo. Então:

$V_1(t) = V_2(t)$

Onde $V_1(t)$ é a velocidade final do corpo que está caindo e $V_2(t)$ é a velocidade final do corpo que está sendo lançado.
As equações do movimento para cada um é, portanto:

$V_1 = V_{o,1} + g\cdot t$

$V_2 = -V_{o,2} - g\cdot t$

Note que $V_2$ possui o sinal negativo na aceleração pois o sentido do movimento é contrário ao da aceleração gravitacional (sempre para baixo), enquanto $V_1$ recebe uma "ajuda" da aceleração gravitacional, já que está caindo. Da mesma forma para $V_{o,2}$, pois está indo no sentido contrário ao que convencionamos como sendo o sentido positivo de movimento (para baixo).
O tempo é o mesmo para ambos. Então, igualamos as equações:

$V_1 = V_2$

$V_{o,1} + g\cdot t = -V_{o,2} - g\cdot t$

Colocando os tempos que têm tempo para o lado esquerdo e os que não tem, para o direito:

$2\cdot g\cdot t = -V_{o,2} - V_{o,1}$

Isolando o tempo:

$t = \frac{-V_{o,2}-V_{o,1}}{2\cdot g}$

Substituindo os valores e utilizando o valor da velocidade em módulo (pois não existe tempo negativo):

$t = \frac{\mid -30-15\mid}{2\cdot 9,81} = 2,29 s$

(b) Como agora temos o instante em que ocorreu o encontro, podemos calcular a posição baseada nesse tempo, que será a mesma para ambos.
Podemos usar do movimento de qualquer corpo para chegar à resposta: tanto a equação do movimento para o corpo que cai dos 100m ou a equação do corpo que é lançado do solo devem dar o mesmo resultado, uma vez que a colisão depende dos dois estarem no mesmo local, no mesmo instante.
Arbitrariamente usarei a equação do movimento para o corpo 2 (que é lançado):

Sua posição final $H$ é o que queremos saber; sua posição inicial é 0 m $H_o = 100 \: m$; sua velocidade inicial é 15 m/s $V_o = 15 \: m/s$ e a aceleração gravitacional é negativa, pois vai contra o movimento.
Substituindo os valores na equação horária:

$H=H_o+V_o\cdot t + \frac{1}{2}gt^2$

$H = 0+15\cdot 2,27 - \frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot (2,29)^2$

$H = 8,62 \: m$


Abraço!