Um corpo é arremessado verticalmente para cima a partir de solo com a velocidade escalar de 30m/s
Desprezando a resistencia do ar adote g= 10m/s², Determine:
a) As funções horárias h= f(t) e v= f(t)
b) o tempo de subida
c) a altura máxima alcançada pelo corpo
d) o instante de chegada ao solo
e) a velocidade escalar ao atingir o solo
f) os gráficos hxt e vxt
Soluções para a tarefa
a)
O movimento do corpo é uniformemente variado, pois ele está sob os efeitos da aceleração da gravidade, que é constante e vale g = 10 m/s².
Para um movimento uniformemente variado, a função horária do espaço h(t) tem o seguinte formato:
h(t) = h0 + v0t + at²/2
Onde:
h (em função de t) é o espaço final;
h0 é o espaço inicial;
v0 é a velocidade inicial;
a é a aceleração constante do movimento;
t representa os instantes de tempo.
Nesse caso, a velocidade inicial v0 vale 30 m/s, o espaço inicial é h0 = 0 e, adotando o sentido para cima como o sentido positivo, a aceleração é g = -10 m/s².
E aí temos:
h(t) = h0 + v0t + at²/2
h(t) = 30t + (-10)t²/2
h(t) = 30t - 5t²
A função horária da velocidade v(t), por outro lado, tem o seguinte formato:
v(t) = v0 + at
Logo:
v(t) = 30 - 10t
Outra maneira de descobrir a função v(t) seria derivar a função h(t). Repare que a derivada de h(t) = 30t - 5t² é justamente v(t) = 30 - 10t.
b)
O tempo de subida pode ser encontrado através da função v(t).
Repare que o tempo de subida é o tempo que o corpo leva para atingir sua altura máxima. Além disso, o instante em que o corpo atinge a altura máxima é o instante em que v = 0.
Então, temos:
v(t) = 30 - 10t
0 = 30 - 10t
10t = 30
t = 30/10
t = 3 s
Logo, o instante em que o corpo atinge a altura máxima t = 3 s, ou seja, o tempo de subida é 3 s.
Outra maneira de resolver esse item seria considerar que o ponto máximo da função h(t) = 30t - 5t² poderia ser encontrado derivando a função e igualando a zero, ou seja, 30 - 10t = 0 => t = 3 s, que é justamente o que já encontramos.
c)
O corpo atinge a altura máxima no instante t = 3 s. Logo, temos:
h(t) = 30t - 5t²
h(3) = 30.3 - 5.3²
h(3) = 90 - 45
h(3) = 45 m
A altura máxima atingida é 45 metros.
d)
O solo corresponde à posição h = 0. Então, temos:
h(t) = 30t - 5t²
0 = 30t - 5t²
0 = 5t(6 - t)
Ou seja:
5t = 0 => t = 0
ou
6 - t = 0 => t = 6 s
Portanto, o instante em que o corpo chega ao solo é o instante t = 6 s. Note que t = 0 é o instante em que ele é arremessado.
e)
Note que h(t) é uma função do segundo grau, logo seu gráfico será uma parábola. Como v(t) é uma função de primeiro grau, seu gráfico será uma reta.
Para traçar o gráfico da parábola, primeiramente, precisamos perceber que a concavidade dela será voltada para cima, pois o coeficiente que acompanha o t² é negativo (-5).
Depois, precisamos ter em mãos as raízes dela, que são os pontos interceptados no eixo x, o ponto em que a parábola intercepta o eixo y e o ponto máximo da parábola.
As raízes de h(t) = 30t - 5t² são 0 e 6 conforme vimos no item d). O ponto interceptado no eixo y será h(0) = 30.0 - 5.0² = 0. Já o ponto máximo dessa parábola é a altura máxima atingida pelo corpo, que é h = 45 m no instante t = 3 s.
Logo, essa parábola passa pelos pontos (0, 0), (3, 45) e (6, 0).
O gráfico da reta é mais fácil de traçar. Basta encontrar dois pontos quaisquer dela. Por exemplo, vamos utilizar t = 0 e t = 1:
v(t) = 30 - 10t
v(0) = 30 - 10.0 = 30
v(1) = 30 - 10.1 = 20
Logo, temos uma reta decrescente que passa pelos pontos (0, 30) e (1, 20).
Os gráficos de h(t) e v(t) estão na imagem anexada.
