Question

Um corpo descreve um movimento harmônico simples na horizontal.Sabendo que o módulo de sua aceleração máxima e sua velocidade máxima são respectivamente 18m/s^2 e 3m/s,calcule a frequência de oscilação deste corpo

A)4/π Hz
B)3/π Hz
C)3π Hz
D)2/π Hz
E)3π Hz

Answer 1

Utilizando a forma geral de movimento harmonico simples, temos que esta frequência de vibração é de 3/π Hz, letra B).

Explicação:

Qualquer movimento harmonico simples tem a solução geral dado por:

$x(t)=A.cos(\omega.t)$

Onde A é a amplitude e ω é a frequência angular.

Então vamos primeiro derivar esta posição duas vezes no tempo, posi assim teremos a aceleração:

$x(t)=A.cos(\omega.t)$

$a(t)=-\omega^2.A.cos(\omega.t)$

E sabemos que a aceleração maxima dele é de 18 m/s², que é quando o cossen é igual a -1, então:

$a(t)=-\omega^2.A.cos(\omega.t)$

$18=\omega^2.A$

Vamos guardar este resultado e agora vamos derivar a posição uma vez para termos a velocidade:

$x(t)=A.cos(\omega.t)$

$v(t)=-\omega.A.sen(\omega.t)$

E esta velocidade é maxima quando seno for -1, sendo igual a 3 m/s:

$v(t)=-\omega.A.sen(\omega.t)$

$3=\omega.A$

Agora vamos comparar nosso dois resultados:

$18=\omega^2.A$

$3=\omega.A$

Dividindo o de cima pelo de baixo temos que:

$6=\omega$

E agora que temos a frequência angular, podemos encontrar a frequência de vibração normal, pois:

$\omega=2\pi.f$

$6=2\pi.f$

$f=\frac{3}{\pi}$

Assim temos que esta frequência de vibração é de 3/π Hz, letra B).