Question

um copo tem a forma de um cone com altura 8cm e base horizontal de raio 3cm. queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. para que isso seja possível, qual deve ser a altura x antingida pelo primeiro líquido colocado?

Answer 1

Temos que Vcone = 4/3πr²h
No exemplo temos um cone com h=8 e r=3
Calculando seu volume temos Vc= 96πcm³, metade é 48π. (guarde esse valor).
Intuitivamente sabemos que altura que vai nos dar a metade do volume é maior que a metade do sólido, portanto não pode ser 4.
Sabemos que esse cone nos dá um triângulo retângulo de catetos 3 (raio da base) e 8 (altura). A hipotenusa não tem importância.
Então a relação entre os catetos é r/h=3/8. E é essa proporção que devemos manter nos
nossos cálculos.
Como queremos a altura, vamos isolar r. Então temos que r=3h/8
Substituindo r na fórmula do volume teremos uma nova que nos dará a fórmula do volume na proporção necessária em termos de h: V=4/3π.(3h/8)².h
Agora colocamos o volume que queremos (48π), então teremos: 48π=4/3π.(3h/8)².h
Achando o valor para h, temos que h=4∛4, que é altura procurada.
Se quiseres pode testar o valor da seguinte forma:
Usando r/h=3/8, e usando h=4∛4, teremos r= 3/2∛4.
Usando a fórmula do volume para os dados acima teremos V=4/3π(3/2∛4)².4∛4, teremos 48πcm³.
Espero ter ajudado