Question

Um copo de limonada a uma temperatura de 40o F é deixado em uma sala com temperatura constante de 70o F. Usando um princípio da Física denominado Lei do Resfriamento de Newton, pode-se mostrar que, se a temperatura da limonada atingir os 52o F em uma hora, então sua temperatura T da limonada como função no tempo decorrido é modelada aproximadamente pela equação = 70 − 30 ∙ −0,5 , onde T está em graus o F e t em horas. Encontre a temperatura média da limonada ao longo de 5 horas.

Answer 1

Utilizando a Lei de resfriamento de Newtom, temos que a temperatura média foi de 53,8ºF.

Explicação:

Primeiramente, temos que a lei de resfriamento de Newton é dada pela seguinte formula:

$T=T_{amb}+(T_0-T_{amb}).e^{-kt}$

Neste caso a temperatura ambiente é de 70º e a temperatura T0 é de 40º, então:

$T=T_{amb}+(T_0-T_{amb}).e^{-kt}$

$T=70-30.e^{-kt}$

Quando se passa 1 hora, ou seja, t=1, temos que a temperatura fica em 52º, ou seja:

$T=70-30.e^{-kt}$

$52=70-30.e^{-k}$

$52-70=-30.e^{-k}$

$-18=-30.e^{-k}$

$e^{-k}=\frac{18}{30}$

$e^{k}=\frac{30}{18}$

$k=Ln(\frac{30}{18})$

$k=Ln(\frac{5}{3})$

$k=0,5$

Assim sabemos a lei completa de resfriamento:

$T=70-30.e^{-0,5t}$

Então podemos descobrir qual foi a temperatura ao final de 5 horas:

$T=70-30.e^{-0,5.5}$

$T=70-30.e^{-2,5}$

$T=70-30.0,08$

$T=70-2,4$

$T=67,6$

Assim ao final de 5 horas ele esta a temperatura de 67,6ºF, mas como queremos a temperatura média, então basta tirarmos a média desta e da inicial:

$\frac{40+67,6}{2}=\frac{107,6}{2}=53,8$

Assiim a temperatura média foi de 53,8ºF.