Um cone com altura h está inscrito em outro cone maior com altura H, de forma que seu vértice esteja no centro da base do cone maior. Qual o valor de h para que o cone menor tenha volume máximo?
Escolha uma:
a. h=H/5
b. h=H/4
c. h=H
d. h=H/2
e. h=H/3
Soluções para a tarefa
Ao desenhar, percebe-se que onde o cone maior tem altura H e raio R o cone menor
(interno) terá altura h e raio r.
Calculando o volume do cone menor, temos:
V = r²π/3 . h
O volume do cone em relação da altura h. Procurando r em função de
h.
Fazemos o cálculo de semelhança de triângulos:
R / r = H / (H - r) ---> r = R(H - h) / H
Já que o raio e a altura do cone maior são constantes, r está escrito em função
de h.
Substituindo na equação do volume:
V(h) = R²(H - h)².πh / 3H² = π/3H² . (H²R²h - 2R²Hh² + R²h³)
O cone interno tem volume máximo quando a primeira derivada de V(h) for nula.
Sendo a derivada de V(h):
V`(h) = R²π/3H² .(3h² - 4Hh + H²)
Buscamos V`(h) = 0 . Logo temos:
R²π/3H² .(3h² - 4Hh + H²) = 0 ----> (3h² - 4Hh + H²) = 0 ---> h1 = H e h2
= H/3
Resposta:
Sendo assim o valor h1 não é válido, pois se fosse assim teríamos uma reta, e
não um cone. A altura do cone menor não pode se coincidir com a altura do
cone maior. Logo o cone interno tem volume máximo quando h = H/3.