Question

um cone circular possue medida da geratriz igual a 13 cm. Sabe-se que a medida da altura desse cone excede 2cm a medida do diametro da circunferencia de sua base. o volume desse cone é?

50 pi cm quadrado
100 idem
150 idem
300 idem


socorro como faço isto ?

Answer 1

A altura do cone excede em 2 cm o diâmetro da base:

$h=(d+2)~cm=(2r+2)~cm=2(r+1)~cm$
____________________

Se olharmos para o cone (reto), veremos a seguinte relação pitagórica:

$g^{2}=h^{2}+r^{2}$

Onde g é a geratriz do cone. Portanto:

$13^{2}=(2(r+1))^{2}+r^{2}\\169=4(r+1)^{2}+r^{2}\\169=4(r^{2}+2r+1)+r^{2}\\169=4r^{2}+8r+4+r^{2}\\5r^{2}+8r+4-169=0\\5r^{2}+8r-165=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=8^{2}-4\cdot5\cdot(-165)\\\Delta=64+20(165)\\\Delta=64+3300\\\Delta=3364\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{3364}=58\\\\r=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8\pm58}{2\cdot5}=\dfrac{-8\pm58}{10}$

Possíveis valores para r:

$r'=\dfrac{-8+58}{10}=\dfrac{50}{10}=5~cm\\\\\\r''=\dfrac{-8-58}{10}=-\dfrac{33}{5}$

r'' é descartado, pois é negativo

$\boxed{\boxed{r=5~cm}}$

Achando a altura do cone:

$h=2(r+1)\\h=2(5+1)\\h=2(6)\\h=12~cm$
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Calculando o volume do cone:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot A_{base}\cdot h=\dfrac{\pi r^{2}h}{3}\\\\\\V=\dfrac{\pi\cdot5^{2}\cdot12}{3}\\\\\\V=\pi\cdot25\cdot4\\\\\\\boxed{\boxed{V=100\pi~cm^{2}}}$

P.S: Não precisávamos ter calculado a altura  do cone, era só trocar h por 2(r + 1) e achar o volume em função do raio:

$V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}2(r+1)=\dfrac{2}{3}\pi(r^{3}+r^{2})$