Question

Um clube decidiu realizar uma quinzena de cinema. Para isso os organizadores escolheram quinze filmes, que serão exibidos um por dia. Mas, ao elaborar a programação, eles decidiram que três desses filmes - que são do gênero ficção científica - não vão ser exibidos, dois a dois, em dias consecutivos; e outros três - que são do gênero drama - vão ser exibidos em dias consecutivos. Qual é o número de maneiras de fazer a programação dessa quinzena?​

Answer 1

o total de possibilidades será $2717\cdot9!$

O total de filmes que este grupo planeja assistir são 15 filmes.

Como existe uma ordem de qual é o primeiro, segundo, terceiro,... filme, então se trata de um arranjo.

Caso não houvesse restrição alguma, este arranju resultaria em $15!$  (15 fatorial) formas de se assistir estes 15 filmes.

Vamos agora aplicar a restrição dos filmes de drama.

como os 3 filmes de dramas serão apresentados em dias consecutivos, o primeiro dia de filme de drama podem ocupar do primiro dia até o dia 13. Os doze dias restantes são filmes quaisquer podem ser arranjados em $12!$ formas distintas.

Assim teríamos (caso não tivesse os filmes de ficção cientifica) $\boxed{13\cdot 12!=13!}$ possibilidades.

Vamos aplicar a restrição dos filmes de ficção cientifica.

São um total de 3 filmes que não serã apresentados em dias consecutivos. Ou seja, se o primeiro for apresentado no dia 1, o segundo (nem o terceiro) não pode ser no dia 2. E se o segundo for no dia 3, o terceiro não pode ser no dia 4.

Se definissimos que os dois primeiros filmes sejam apresentados no dia 1 e 3, então o filme 3 poderá ser apresentado do dia 7 até 15 que dá 9 dias possiveis (se o primeiro filme de drama for dia 4). ou 8 dias possíveis (caso contrário.

então desta forma, teremos $9\cdot9!+8\cdot9!=9!\cdot(9+8)$ possibilidades.

Para o segundo filme no dia 4, teremos:

Drama no dia 5 ---> ficção no dia 8 (até 15)

Drama no dia 6 (até 13) ---> ficção no dia 9 (ou outro dia depois)

resultando em $8\cdot9!+7\cdot10!=9!\cdot(7+8)$ possibilidades.

Para o segundo filme no dia 5, teremos:

Drama no dia 6 ---> ficção no dia 9 (até 15)

Drama no dia 7 (até 13) ---> ficção no dia 10 (ou outro dia depois)

resultando em $8\cdot9!+7\cdot10!=9!\cdot(7+8)$ possibilidades.

percebendo o padrão podemos afirmar que existem $(9+8)9!+12\cdot(8+7)9!=197\cdot9!$ formas de se organizar os filmes quando se tem determinado que o primeiro filme será no dia 1.

Agora, se o primeiro filme for no dia 2 (ou mais) então teremos

$14\cdot(12\cdot(8+7)9!)=[tex]2520\cdot9!$

Portanto, o total de possibilidades será $2717\cdot9!$