Question

um circulo de raio r esta inscrito em um triangulo ABC. Se AC = 6cm, AB = 10 cm e BC = 12 cm entao, a area da regiao interior ao triangulo e exterior ao circulo e igual a:

Answer 1

Boa noite!

Calculando a área do triângulo.
Vamos usar o Teorema de Herão para o cálculo da área.

1) Primeiramente, calcularemos o semiperímetro:
$p = \dfrac{ 6 + 10 + 12 }{ 2 }\\p = \dfrac{ 28 }{ 2 }\\\boxed{ p = 14 }$

2) Agora a área:
$A_t = \sqrt{ p \cdot ( p - a ) \cdot ( p - b ) \cdot ( p - c ) }\\A_t = \sqrt{ 14 \cdot ( 14 - 6 ) \cdot ( 14 - 10 ) \cdot ( 14 - 12 ) }\\A_t = \sqrt{ 14 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 2 }\\\boxed{ A_t = 8 \sqrt{ 14 } }$

3) Conhecida a área do triângulo podemos obter facilmente o raio da circunferência inscrita pela seguinte fórmula:
$A_t = p \cdot r\\14 \cdot r = 8 \sqrt{ 14 }\\\boxed{ r = \dfrac{ 4 \sqrt{ 14 } }{ 7 } }$

4) Calculando a área do círculo:
$A_c = \pi \cdot r^2\\A_c = \pi \cdot \left( \dfrac{ 4 \sqrt{ 14 } }{ 7 } \right) ^ 2\\A_c = \pi \cdot \dfrac{ 32 }{ 7 }\\\boxed{ A_c = \dfrac{ 32 \pi }{ 7 } }$

5) Agora saberemos a área pedida:
$A = A_t - A_c\\A = 8 \sqrt{ 14 } - \dfrac{ 32 \pi }{ 7 }\\\boxed{ A = \dfrac{ 56 \sqrt{ 14 } - 32 \pi }{ 7 } }$

Espero ter ajudado!