Question

Um cÍrculo de raio 2√2 tem o seu centro numa circunferência de raia 2,veja figura: a circunferência grande tem raio 2√2 e a circunferência menor tem raio 2. Qual é a área pintada da parte do menor círculo que está fora do grande círculo?

A. 2π B.√2 *π C.5π/4 D.4

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, é necessário fazer algumas observações/”rabiscos” na figura. Para melhorar a compreensão do problema, vetorizei a figura e a adiciono em anexo de forma colorida. Vamos ao desenvolvimento.

 

O primeiro passo é conhecer as áreas dos círculos. Para o cálculo da área da circunferência, usamos a seguinte fórmula:

 

$\mathsf{A= r^2\pi}$

 

Com os dados que estão no enunciado, vamos ao cálculo da área do círculo maior.

 

$\mathsf{A=r^2\pi}\\\\ \mathsf{A=(2\sqrt2)^2\pi}\\\\ \mathsf{A=2^2(\sqrt2)^2\pi}\\\\ \mathsf{A=4\cdot2\pi}\\\\\mathsf{A=8\pi}$

 

Calculando a área do círculo menor.

 

$\mathsf{A=r^2\pi}\\\\ \mathsf{A=2^2\pi}\\\\ \mathsf{A=4\pi}$

 

O ponto principal vem agora. Essa “grade” não está na figura atoa. O intuito da grade é demonstrar que há um triângulo retângulo dentro do semicírculo pequeno. Na imagem que coloquei em anexo, esse triângulo está em um tom de azul mais escuro. Da mesma maneira que há 1 triângulo retângulo, há mais 3, que juntos foram um quadrado. Se descobrirmos a área do triângulo, conseguimos descobrir o valor das partes verdes da imagem (o “que falta para o quadrado virar uma circunferência”).

 

Para o cálculo da área do triângulo, usamos a seguinte fórmula:

 

$\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}}$

 

A base e a altura do triângulo equivalem ao raio da circunferência maior. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}}\\\\\\ \mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}}{2}}\\\\\\ \mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{4\sqrt{4}}{2}}\\\\\\ \mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{4\cdot2}{2}}\\\\\\ \mathsf{A_{\triangle}=4}$

Se a área do triângulo mede 4, a parte verde equivale a um quarto da área do círculo maior menos a área do triângulo. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{A_{VERDE}=\left(\dfrac{1}{4}\cdot8\pi\right)-4}\\\\\\ \mathsf{A_{VERDE}=\left(\dfrac{8\pi}{4}\right)-4}\\\\\\ \mathsf{A_{VERDE}=\left(2\pi\right)-4}\\\\\\ \mathsf{A_{VERDE}=2\pi-4}$

 

A área pintada de preto corresponde à metade da área do círculo pequeno menos a área verde. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{A_{PRETO}=\dfrac{4\pi}{2}-(2\pi-4)}\\\\\\ \mathsf{A_{PRETO}=2\pi-2\pi+4}\\\\\\ \boxed{\mathsf{A_{PRETO}=4~u.c}}$

 

Com isso, temos que a área em preto é de 4 u.c (unidades de comprimento). A resposta correta está na alternativa D.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$