Question

Um círculo de centro no ponto (4, −1) passa pelo foco da parábola
x²+16y = 0. Verifique que a diretriz da parábola tangencia o círculo.

Answer 1

Podemos reescrever a equação da parábola como sendo $x^2=-16y$. Daí já concluímos que seu foco se encontra em algum ponto no eixo das ordenadas e o seu vértice é o ponto (0, 0).

Em uma parábola de equação $x^2=-2py$, o elemento $p$ é determinado parâmetro da parábola. A sua metade é igual à distância entre o vértice e o foco da parábola. Igualando as equações, ficamos com $-2py=-16y$, tirando daí que $p=8\text{ u.c}$.

Temos então que a distância entre o vértice até o foco é $p/2=4\text{ u.c}$. Como a parábola têm concavidade para baixo, seu foco se encontra abaixo do vértice e, como ele se encontra no eixo das abcissas, concluímos que o seu foco é o ponto (0, 0-4) = (0, -4).

Sendo $r$ o raio da circunferência, ele deve ser igual à distância entre os pontos (4, -1) e (0, -4), logo:

$r=\sqrt{(4-0)^2+[-1-(-4)]^2}$

$r=\sqrt{16+9}$

$r=\sqrt{25}$

$r=5\text{ u.c}$

Com o raio obtido, podemos dizer que a equação da circunferência é $(x-4)^2+(y+1)^2=5^2$. Para que a reta diretriz seja tangente à circunferência, basta que exista apenas um ponto onde elas se interceptem.

A distância da diretriz até o vértice da parábola também é igual a $p/2$ e, como ela é paralela ao eixo das abcissas e está acima do vértice, concluímos que a reta diretriz é definida pela equação $y=4$.

Substituindo $y$ por 4 na equação da circunferência, achamos que:

$(x-4)^2+(4+1)^2=5^2$

$(x-4)^2+5^2=5^2$

$x-4=0$

$x=4$

Concluindo assim que o único ponto de interseção entre a reta diretriz e a circunferência é o ponto (4, 4), logo de fato a reta é tangente à circunferência.