Question

Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera de raio R. Encontre o maior volume possível de um tal cilindro.

Answer 1

Esfera possui raio R.

Cilindro possui raio r e altura h.

Faça um desenho e veja que: (h/2), R e r são lados de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é R.

Seja x o ângulo subtendido pelos raios da esfera (R) e do cilindro (r). Portanto, sen(x) = (h/2)/R e cos(x)=r/R

Ou seja, h = 2R.sen(x) e r = R.cos(x)

Volume do cilindro = pi.r².h

V = pi. (R.cos(x))² . (2Rsen(x))

V = 2pi.R³.cos²(x).sen(x)

V máximo implica dV/dx =0

d[cos²(x).sen(x)]/dx =0

-2cos(x).sen²(x) + cos³(x) =0

ou cos(x) =0 (que dá a área minima) ou

-2sen²(x) + cos²(x) =0

cos²(x) = 2sen²(x)

cos²(x)/sen²(x) = 2

[sen(x)/cos(x)]² = 1/2

tg²(x) = 1/2

tg(x) = raiz(2)/2

x = arctg(raiz(2)/2) [naturalmente 0 < x < pi/2]