Question

Um casal de coelhos torna-se produtivo após 2 meses de vida, e a partir daí, reproduz um novo casal a cada mês; começando com um único casal recém-nascido, quantos casais existiram ao final de 10 meses?

Answer 1

=> Vou tentar "criar" uma representação gráfica para ajudar ao raciocínio

...note que eu considero, para facilidade de raciocínio, que o nascimento de cada novo casal é no primeiro dia do mês em que ocorrerem ...ou seja no primeiro dia após os 2 meses de "não maturidade" reprodutora.dos seus progenitores.

Assim:

Mês - 1 ..Casal (A)
Mês - 2 ..Casal (A)
Mês - 3 ..Casal (A) + 1º casal descendente (de A) que vamos designar como casal (B)
Mês - 4 ..Casal (A) + casal (B) + 2º casal descendente (de A) que vamos designar como casal (C)
Mês - 5 ..Casal (A) + casal (B) + casal (C) + 3º casal descendente (de "A") que vamos designar como casal (D) ...e o primeiro casal descendente do casal (B) que vamos designar de (B1)

....veja que no 5º mês já temos 5 casais 

seguindo este raciocínio vamos ter no 6º mês ..8 casais

e aqui já lhe deve ter soado o "alerta" para ...a sequência de Fibonacci..


Veja que considerando como a₀ = o ..e a₁ = 1, teremos a sequencia definida por:

an = a(ⁿ⁻¹) + a(ⁿ⁻²)

..ou seja 

Mês - 1 = a(₁) = 1

Mês - 2 = a(₂₋₁) + a(₂₋₂) = a₁ + a₀ = 1 + 0 = 1

Mês - 3 = a(₃₋₁) + a(₃₋₂) = a₂ + a₁ = 1 + 1 = 2

Mês - 4 = a(₄₋₁) + a(₄₋₂) = a₃ + a₂ = 2 + 1 = 3

Mês - 5 = a(₅₋₁) + a(₅₋₂) = a₄ + a₃ = 3 + 2 = 5

Mês - 6 = a(₆₋₁) + a(₆₋₂) = a₅ + a₄ = 5 + 3 = 8

..e pronto sabemos que a partir do 3º mês o numero de casais  ..é igual á soma do numero de casais dos 2 meses anteriores, donde:

Mês:

1 -->       1
2 -->       1
3 -->       2
4  -->      3
5  -->      5
6  -->      8
7  -->    13
8  -->    21
9   -->   34
10 -->   55   <--- número de casais no 10º mês



Espero ter ajudado!!