Question

Um carro, que partiu do espaço inicial igual a 3m, executa um movimento respeitando a equação da velocidade dada pela expressão a seguir:
V = 2t2 + 4t
Responda:
a) Qual a velocidade para t = 1s?
b) Qual o espaço para t = 1s?

Answer 1

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Supondo que todas as unidades de medida estão no SI:


•   Posição inicial (no instante $\mathsf{t=0}$):   $\mathsf{S(0)=3~m;}$

•   Equação horária da velocidade:    $\mathsf{v(t)=2t^2+4t}$

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a)   A velocidade no instante $\mathsf{t=1~s}$ é obtida, simplesmente substituindo este valor na equação horária da velociadade:

$\mathsf{v(1)=2\cdot 1^2+4\cdot 1}\\\\ \mathsf{v(1)=2+4}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{v(1)=6~m/s} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

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b)   Calcular o espaço no instante $\mathsf{t=1~s}:$

A variação do espaço até o instante $\mathsf{t=1~s}$ é numericamente igual à área sob o gráfico da função velocidade versus tempo, desde o instante inicial $\mathsf{t=0}$ até o instante final $\mathsf{t=1}.$


Como a velocidade é uma função quadrática do tempo, o gráfico é uma parábola, e para calcular o espaço precisaremos recorrer à fórmulas de área sob a parábola ou cálculo integral.

Tal área é considerada com sinal, isto é, área positiva para o trecho em que a velocidade é positiva e área negativa para o trecho em que a velocidade é negativa.

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Considerando a função quadrática

$\mathsf{v(t)=at^2+bt+c\qquad\quad(a\ne 0)}$


a área sob o gráfico de $\mathsf{v}$  no intervalo de  $\mathsf{t=t_0}$  até  $\mathsf{t=t_1}$  é dada por

$\mathsf{S\Big|_{t_0\to t_1}=\dfrac{a}{3}(t_1^3-t_0^3)+\dfrac{b}{2}(t_1^2-t_0^2)+c(t_1-t_0)}$


que é numericamente igual à variação total da função espaço nesse intervalo:

$\mathsf{S(t_1)-S(t_0)=\dfrac{a}{3}(t_1^3-t_0^3)+\dfrac{b}{2}(t_1^2-t_0^2)+c(t_1-t_0)}\\\\\\ \mathsf{S(t_1)=S(t_0)+\dfrac{a}{3}(t_1^3-t_0^3)+\dfrac{b}{2}(t_1^2-t_0^2)+c(t_1-t_0)}\qquad\quad\mathsf{(i)}$

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Para a função horária da velocidade dada nesta tarefa,

$\mathsf{v(t)=2t^2+4t}\quad\Rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l}\mathsf{a=2}\\\mathsf{b=4}\\\mathsf{c=0} \end{array} \right.$


temos que a variação espaço do instante inicial  $\mathsf{t=0}$  até  $\mathsf{t=1}$  é

$\mathsf{S\Big|_{0\to 1}=\dfrac{2}{3}(1^3-0^3)+\dfrac{4}{2}(1^2-0^2)+0(1-0)}\\\\\\ \mathsf{S(1)-S(0)=\dfrac{2}{3}\cdot 1+2}$


Logo, o espaço no instante $\mathsf{t=1~s}$ é

$\mathsf{S(1)=S(0)+\dfrac{2}{3}\cdot 1+2}\\\\\\ \mathsf{S(1)=3+\dfrac{2}{3}+2}$

$\mathsf{S(1)=5+\dfrac{2}{3}}\\\\\\ \mathsf{S(1)=\dfrac{15+2}{3}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{S(1)=\dfrac{17}{3}~m}\end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{posi\c{c}\~ao no instante }\mathsf{t=1~s.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  equação horária velocidade tempo posição espaço cinemática mecânica