Question

um carro acelera a uma taxa de (3,00 ̂i− 2,00̂j)/m/s^2 ,enquanto uma moto acelera a (1,00̂i+ 3,00̂j)m/s^2. As duas saem do repouso na origem de um sistema de coordenadas . Após 5,00 s

(a)Qual a velocidade do carro em relação a moto,
(b) qual a distância entre elas?
(c) Qual é a aceleração do carro em relação a moto?

Answer 1

a)

Temos as seguintes relação para a cinemática do ponto:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}&\vec{a}(t) =\frac{d\vec{v}(t)}{dt} & \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t)\,dt+ \vec{v}(t_0)\\ \\&\vec{v}(t) =\frac{d\vec{r}(t)}{dt} & \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t)\,dt + \vec{r}(t_0)\\ \\\end{aligned} }$

Portanto, se temos a aceleração, podemos integrar a aceleração e descobrir qual é a velocidade, neste caso, queremos a velocidade relativa entre o carro e a moto, podemos integrar o vetor aceleração relativa, temos então:

$\vec{a}_m:\text{acelera\c c\~ao da moto}\\ \vec{a}_c:\text{acelera\c c\~ao do carro}$

A aceleração relativa entre o carro e a moto é dado pela substração dos dois vetores (veja anexo),  i.e faremos o vetor aceleração do carro menos o vetor aceleração da moto, depois integramos esse resultado, podemos também fazer a integral e descobrir a velocidade de ambos, e depois substrair, dará exatamente o mesmo resultado.

Portanto nosso aceleração relativa é:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{a}_{r} = \vec{a}_{c} - \vec{a}_{m}\\ \\\vec{a}_{r} = (3\hat{\imath} - 2\hat{\jmath}) - (1\hat{\imath} +3\hat{\jmath})\\ \\\vec{a}_{r} = (2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})\end{gathered}$

Integramos a aceleração para achar a velocidade temos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v}_r(t) = \int \vec{a}_r(t)\,dt + \vec{v}_r(t_0) \\ \\\vec{v}_r(t) = \int (2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})\,dt + 0 \\ \\\vec{v}_r(t) =(2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})t \\ \\\end{gathered}$

Para calcular a velocidade após 5 segundos basta colocar o t = 5, e logo temos:

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v}_r(t) =(2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})t \\ \\\vec{v}_r(5) =(2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})5 \\ \\\vec{v}_r(5) = 10\hat{\imath} - 25\hat{\jmath} \\ \\\end{gathered}$

b)

Para achar o vetor deslocamento relativo, temos que integrar a velocidade, logo

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{r}_r(t) = \int \vec{v}_r(t)\,dt + \vec{r}_r(t_0) \\ \\\vec{r}_r(t) = \int (2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})t\,dt + 0 \\ \\\vec{r}_r(t) = \frac{(2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})t^2}{2} \\ \\\end{gathered} }$

Após 5 segundos basta substituir:

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{r}_r(t) = \frac{(2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})t^2}{2} \\ \\\vec{r}_r(5) = \frac{(2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath})\cdot5^2}{2} \\ \\\vec{r}_r(5) = 25\hat{\imath} - 62{,}5\hat{\jmath} \\ \\\end{gathered} }$

c)

Já calculado no item a.

Faça o exercício, porém calculando as velocidades e posição separados e depois subtraindo o vetor, veja que o resultado é o mesmo.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.