Question

Um capital de R$ 40.000,00 triplica o valor no sistema de juros composto sendo que será capitalizados 10% ao mes, e nesses meses de capitalização no final do resgate, pretendesse aplicar novamente depois de um periodo assim formando uma PA de razão 3, de 6 termos, depois de quanto tempo será aplicado novamente? use log1,1 =0,041 e log3 = 0,47. Obs aproxime o numero para a casa mais proxima!

A) 3 anos e 8 meses
B) 2 anos e 1 meses
C) 2 anos e 2 meses
D) 5 anos e 2 meses
E) 2 anos e 3 meses

Answer 1

Equação de juros compostos é:
 
$\mathsf{M=C\cdot(1+j)^t}$

M = montante
C = Capital
j = juros
t = tempo

Temos que o capital de R$ 40.000,00 que será aplicado a juros de 10% até que seja triplicado.

A incógnita então está na quantidade de meses que esse capital ficará aplicado, ou seja, no t

Colocando os dados na equação para encontrar t :


$\mathsf{3\cdot40.000=40.000\cdot(1+0,1)^t}\\\\\mathsf{3=(1,1)^t}\\\\\mathsf{\ell og(3)=\ell og(1,1^t)}\\\\\mathsf{\ell og(3)\approx 0,47}\\\mathsf{\ell og(1,1)\approx0,041}\\\\\mathsf{0,47=0,041t}\\\\\mathsf{t=\dfrac{0,47}{0,041}}\\\\\mathsf{t\approx11}$

Como ele aplicara novamente em um período que corresponde a uma P.A  de razão 3 com 6 termos temos:


$\mathsf{a_1=11}\\\mathsf{r=3}\\\mathsf{a_6=?}\\\\\mathsf{P.A~\{a_n=a_1+(n-1)\cdot r\}}\\\\\mathsf{a_6=11+(6-1)\cdot 3}\\\mathsf{a_6=11+5\cdot 3}\\\mathsf{a_6=11+15}\\\mathsf{a_6=26}$

Será aplicado após 26 meses

Convertendo para anos sabendo que 1 ano corresponde a 12 messes temos:

$\mathsf{\dfrac{1}{x}=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!12}{\diagup\!\!\!\!26}}\\\\\\\mathsf{6x=13}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{13}{6}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{12}{6}+\dfrac{1}{6}}\\\\\\\boxed{\mathsf{x=2+\dfrac{1}{6}~anos}}$

Convertendo $\frac{1}{6}$ anos para meses:

$\mathsf{\dfrac{1}{\frac{1}{6}}=\dfrac{12}{x}}\\\\\\\mathsf{x=12\cdot\dfrac{1}{6}}\\\\\boxed{\mathsf{x=2~meses}}$

2 anos e 2 meses 

Resposta (c)

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