Question

um capacitor esferico consiste de uma esfera metálica interna, de raio Ra, apoiada num pedestal isolante situado no centro de uma esfera metálica oca de raio interno Rb. Há uma carga +Q na esfera interna e outra -Q na externa.

a) Qual é a ddp Vab entre as esferas?

b) prove que a capacitância é C=4\piε₀ RaRb/Rb-Ra

Answer 1

Olá,

A) Sabemos que a diferença de potencial (V) é dada por:

$Vf-Vi=-\int\limits^{Ra}_{Rb} {E} \, dl$

Sabemos que o campo elétrico é dado por:

$LeiDeGauss\\\ \\ \int {E.dA} \, =  \frac{Qinterna}{e0}\\ \\ E=\frac{Qint}{4\pi.e0.r^{2}}$

Substituindo o E na equação do diferencial de potencial teremos:

$Vf-Vi=-\int\limits^{Ra}_{Rb} {\frac{Q}{4\pi.e0.r^{2}}} \, dl$

Integrando e substituindo corretamente os limites de integração teremos como resultado:

$Vf-Vi=\frac{Q}{4\pi.e0}.\frac{Rb-Ra}{Ra.Rb}$.

B) Sabemos que a capacitância é dada por:

$Q=C.V\\ \\ C=\frac{Q}{V}$

Sendo V a diferença de potencial (Vf-Vi).

Logo basta substituir a fórmula que chegamos para Vf-Vi no lugar de V na relação acima, vejamos:

$C= \frac{Q}{\frac{Q}{4\pi.e0}.\frac{Rb-Ra}{Ra.Rb}} = 4\pi .e0.\frac{Ra.Rb}{Rb-Ra}$

Espero ter ajudado.

Answer 2

Primeiro vamos encontrar a expressão para a diferença de potência, para encontrar esta expressão sabemos que: um capacitor esférico consiste em uma esfera metálica interna, de raio Ra, sustentada por um pedestal isolante localizado no centro de uma esfera metálica de raio Rb. Faça uma carga +Q na esfera interna e outra -Q na esfera externa.

• Saberemos que a diferença de potência é dada pela seguinte integral definida:

$\displaystyle \sf \Longrightarrow~ V_ B - V _ A=-\int^B _ A \vec E \cdot \vec{d l}$

Esta equação nos permite calcular a diferença de potencial entre os dois pontos como se você conhecesse ${\displaystyle {\vec {E}}\,\!}$ (campo elétrico). Esta fórmula pode ser modificada, pois o campo elétrico de um capacitor é dado pela lei de Gauss, ou seja, é dado pela fórmula:

$\displaystyle \sf \Longrightarrow~\int \vec{E} \cdot\vec{dA}=\dfrac{Q}{\epsilon _0}$

Essa expressão é sobre uma integral indefinida, essa integral é feita em relação ao diferencial da área, como o campo elétrico está multiplicando o diferencial da área e não tem nada a ver com a área, pode ser retirado da integral indefinida e ficaremos com uma integral imediata, ou seja, obtemos:

$\displaystyle \sf \Longrightarrow~ \vec{E}\int \cdot\vec{dA}=\dfrac{Q}{\epsilon _0}\\\\ \displaystyle \sf \Longleftrightarrow ~\vec{E} \cdot A =\dfrac{Q}{\epsilon _0}$

Esta fórmula mostra que o campo elétrico vezes a área do capacitor é igual à sua carga interna dividida pela impermiabilidade no vácuo (constante). Essa fórmula pode ser modificada ainda mais, pois lembramos que estamos trabalhando com um capacitor esférico, então lembremos que matematicamente a área de uma esfera é dada pela fórmula: $\sf A = 4\pi r^2$

Então a fórmula do campo elétrico para um capacitor esférico é dada pela expressão:

$\displaystyle \sf \Longrightarrow~\vec{E} \cdot (4\pi r^2)=\dfrac{Q}{\epsilon _0}\\\\ \sf \Longleftrightarrow \vec E =\dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0 r^2}$

Então, como já conhecemos a fórmula para calcular o campo elétrico de um capacitor esférico, podemos substituir essa fórmula pela expressão que nos permite calcular a diferença de potência, obtendo assim:

$\displaystyle \sf V_ B - V _ A=-\int^B _ A \dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0 r^2} \cdot \vec{d l}$

Vemos que os limites de integração dessa integral são feitos de acordo com os comprimentos A e B do capacitor, mas como nosso capacitor é esférico, os comprimentos são iguais aos raios desse capacitor, então a integral definida pode ser alterada para:

$\displaystyle \sf V_ B - V _ A=-\int^{R _ B} _ {R _ A} \dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0 r^2} \cdot \vec{d r}$

Esta integral é feita em relação ao raio e vemos que temos o raio como variável, então pode ser integrado, mas aparentemente é um pouco complexo, pois o raio está dentro de uma operação, mas como está apenas multiplicando essa operação, pode ser removido e ser muito simples como uma integral, então, se tirarmos o raio da fórmula, obtemos:

$\displaystyle \sf V_ B - V _ A=-\int^{R _ B} _ {R _ A} \dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0} \cdot \dfrac{1}{r^2}\cdot \vec{d r}$

Aplicamos as leis dos expoentes e tiramos nossa constante da integral para obter a expressão:

$\displaystyle \sf V_ B - V _ A=-\dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0} \int^{R _ B} _ {R _ A} r^{-2}\cdot \vec{d r}$

Para resolver essa integral definida vamos primeiro integral indefinidamente e depois o resultado será avaliado nos limites de integração da integral definida, mas para realizar a integral indefinida vamos aplicar a lei de potência das integrais, essa lei tem como principal expressão: $\displaystyle \sf\int x^{n} dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

$\displaystyle \sf V_ B - V _ A=-\dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0}\left[ \dfrac{r^{-2+1}}{-2+1} \right]^{R _ B}_{R _ A }\\\\ \displaystyle \sf V_ B - V _ A=-\dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0}\left[ -\dfrac{r^{-1}}{1} \right]^{R _ B}_{R _ A } \\\\ \displaystyle \sf V_ B - V _ A=-\dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0}\left[ -\dfrac{1}{r} \right]^{R _ B}_{R _ A }$

• Avaliados os limites de integração de nossa integral:

$\displaystyle \sf V_ B - V _ A=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0}\left[ - \dfrac{1}{R _ B} +\dfrac{1}{R _ A}\right]\\\\ \displaystyle \sf V_ B - V _ A=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon _0}\cdot \left( \dfrac{R _ B- R _ A}{R _ B \cdot R _ A} \right)$

Esta seria a expressão que nos permite calcular a diferença de potência do capacitor esférico e para demonstrar a fórmula que nos permite calcular sua capacitância de acordo com o item B, esta fórmula é:

$\sf C =\dfrac{Q}{\Delta V}$

Substituindo :

$\sf C =\dfrac{\not\!\! Q}{\dfrac{\not\!\! Q}{4\pi \epsilon _0}\cdot \left( \dfrac{R _ B- R _ A}{R _ B \cdot R _ A} \right)}\\\\\sf C =\dfrac{1}{\dfrac{1}{4\pi \epsilon _0}\cdot \left( \dfrac{R _ B- R _ A}{R _ B \cdot R _ A} \right)}\\\\ \sf C =\dfrac{4\pi \epsilon _0}{1} \cdot \dfrac{R _ A \cdot R _ B }{R _ B - R _ A}\\\\ \sf C = 4\pi \epsilon _ 0\cdot \dfrac{R _ A \cdot R _ B }{R _ B - R _ A}$

Bons estudos :)