Question

Um capacitor de placas paralelas contém um dielétrico para o qual k=5,5. A área das placas é de 0,034 m² e a distância entre as placas é 2,0 mm. O capacitor ficará inutilizado se o campo elétrico entre as placas exceder 200 kN/C. Qual é a máxima energia que pode ser armazenada no capacitor ?

Answer 1

Após os cálculos realizados podemos afirmar que a energia máxima armazenada no capacitor é  $\large \displaystyle \mathsf{ U = 66\: \mu \: J }$.

Um capacitor é constituído por dois condutores isolados (as placas), que podem receber cargas +q e –q que permite armazenar energia potencial em um campo elétrico.

A capacitância C é definida pela equação:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ q = C V } }$

A unidade de capacitância do SI é o farad (F): 1 farad (1 F) = 1 coulomb por volt = 1 C/V.

A carga acumulada nas placas é dada pela expressão:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{q = E \: A\: \varepsilon_0 } }$

A diferença de potencial entre as placas de um capacitor é dado por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{V = E\: d } }$

Capacitância do capacitor de placas paralelas:

Aplicando estas equações na definição de capacitância, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ q = C V }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \varepsilon_0\:A\: \diagup\!\!\!{E} = C \:\diagup\!\!\!{ E}\: d } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \varepsilon_0\: A = C d }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ C = \dfrac{\varepsilon_0\: A}{d} } }$

A expressão do campo elétrico nas proximidades da superfície de um condutor imerso em um dielétrico é dado por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ E = \dfrac{\sigma}{k\:\varepsilon_0 } ~ ~sendo ~que ~~\sigma = \dfrac{q}{A} } } }$

O trabalho é armazenado na forma da energia potencial U do capacitor,temos:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ U = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{q^2}{C} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf k = 5{,}5 \\\sf A = 0{,}034\: m^2 \\\sf d = 2{,}0\:mm = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\: m \\\sf E = 200\:k N/C = 200 \cdot 10^3 \: N/C \\\sf U = \:?: J \end{cases} } }$

Substituindo os dados nas expressões, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E = \dfrac{\sigma}{k \:\varepsilon_0 } } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \sigma = E \:k \:\varepsilon_0 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{q}{A} = E \:k \:\varepsilon_0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ q = E\: A\:k\:\varepsilon_0 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ C = \dfrac{ k\: \varepsilon_0\: A }{d} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{q^2}{C} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(E \:A\:k\: \varepsilon_0)^2 }{ k\: A\: \varepsilon_0 }\cdot d } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{E^2 \: A^2 \: k ^2\: \varepsilon_0^2 \cdot d}{ k\: A\: \varepsilon_0 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = \dfrac{1}{2} \cdot E^2 \:A\:K\: \varepsilon_0 \;d } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = \dfrac{1}{2} \cdot (2\cdot 10^5)^2 \cdot 0{,}034 \cdot 5{,}5 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 2\cdot 10^{-3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}000132396 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = 0{,}000066\: J } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = 6{,} 6 \cdot 10^{-5}\: J } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ U = 66 \cdot 10^{-6}\: J } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf U = 66 \: \mu\:J }$

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