Question

Um campo é delimitado no formato de um retângulo no qual um lado é formado por um
rio de percurso retilíneo. Se 100m estão disponíveis para o cercado, determine as dimensões
do retângulo para que a área seja a maior possível.

Answer 1

Resposta:

As medidas do terreno devem ser 25 metros e 50 metros.

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, vamos adotar que a maior medida do terreno é formado pelo rio. Desse modo, o perímetro da área cercada deve ser igual a:

$100=2x+y\\ \\ y=100-2x$

Além disso, podemos calcular a área do terreno retangular, multiplicando suas dimensões. Assim:

$A=xy$

Substituindo a incógnita Y na função, conforme a primeira equação, obtemos:

$A=x(100-2x)\\ \\ A=100x-2x^2$

Então, para obter o máximo de uma função, devemos derivá-la e igualar a sua derivada a zero. Fazendo isso para a função área, obtemos a dimensão X. Logo:

$A=100x-2x^2\\ \\ A'=100-4x=0\\ \\ 4x=100\\ \\ x=25 \ m$

Por fim, voltamos a primeira equação e calculamos a dimensão Y do terreno.

$y=100-2\times 25=50 \ m$