Question

Um caixa sem tampa será construida recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha quadrada cujos seus lados medem 12 cm, e dobrando-se os lados para cima. Que tamanho os lados dos quadrados das bordas vem ter para que a caixa tenha a capacidade maxima?

Answer 1

Bom dia!

O volume desta caixa será o produto da área da base, que será um quadrado de lados (12-2x) pela altura, que será x. Então:
$V(x)=x(12-2x)^2=x(144-48x+4x^2)=144x-48x^2+4x^3$

Para encontrar o que se pede iremos derivar:
$V'(x)=144-96x+12x^2\\ V'(x)=0\\ 12x^2-96x+144=0\\ x^2-8x+12=0\\ \Delta=(-8)^2-4(1)(12)=64-48=16\\ x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{16}}{2(1)}\\ x=\frac{8\pm{4}}{2}\\ x'=\frac{8+4}{2}=6\\ x''=\frac{8-4}{2}=2$

Agora para determinar se o ponto é de máximo ou mínimo há duas formas:
Pela derivada primeira:
Como a curva é uma parábola, com a concavidade para cima, temos:
x<2 ==> função derivada POSITIVA
2<x<6 ==> função derivada NEGATIVA
x>6 ==> função derivada POSITIVA

Então, para sabermos qual ponto será máximo ou mínimo é só lembrar que o sinal da derivada indica se a função original será crescente ou decrescente. Então:
Menor que 2 ==> função crescente
Maior que 2 ==> função decrescente

Então, no ponto 2 temos um ponto de MÁXIMO.

Menor que 6 ==> função decrescente
Maior que 6 ==> função crescente

Então, no ponto 6 temos um ponto de MÍNIMO.

Se quiser usar a derivada segunda:
$V''(x)=-96+24x\\ V''(2)=-96+24(2)=-96+48=-48\\ V''(6)=-96+24(6)=-96+144=48$

Então, como a derivada segunda em 2 é negativa este é um ponto de MÁXIMO.
E a derivada segunda em 6 é positiva então este é um ponto de MÍNIMO.

Lados da caixa, então, para capacidade máxima:
(12-2x) = (12-2(2)) = 12-4 = 8, e altura igual a 2.

Espero ter ajudado!