Question

Um bloco de peso ,submetido a uma força →
F na direção horizontal, encontra-se sobre um plano
inclinado com atrito, como indica a figura abaixo. Em t = 0, sua velocidade é nula. Sejam µe e µC os
coeficientes de atrito estático e cinético, respectivamente, entre a superfície do plano inclinado e o
bloco. Julgue os itens abaixo.

Answer 1

Resposta:

Vamos começar decompondo as forças Peso e F e representar a Fat. Anexei uma figura com o diagrama de forças. A decomposição de F está separada pois ficaria muito poluído o desenho (Veja a figura).

A Fat está pra baixo pois a pergunta da questão é qual a Força F máxima para deixar o bloco na iminência de deslizar, ou seja, qualquer força maior que essa vai fazer o bloco subir o plano inclinado, daí a Fat está em sentido contrário.

Vamos escrever as componentes de P e F de acordo com o ângulo Θ:

$P_y = P. cos\theta\\P_x = P. sen\theta\\------\\F_y = F.sen\theta\\F_x = F.cos\theta$

Notemos ainda que a força Normal (N) sobre o bloco não é simplesmente igual a Py, mas sim Py + Fy, pois a componente Fy da força F empurra o bloco contra o plano inclinado, aumentando o contato com a superfície, isso vai aumentar a Normal e consequentemente a Força de Atrito (Fat).

Agora basta equacionarmos, para que o bloco permaneça em repouso com uma Força F máxima aplicada, as componentes na direção x devem se equilibrar, ou seja:

$P_x + Fat = F_x\\\\P.sen\theta + \mu_e.(P_y + F_y) = F.cos\theta\\\\P.sen\theta + \mu_e.(P.cos\theta + F.sen\theta) = F.cos\theta\\\\P.sen\theta + \mu_e.P.cos\theta + \mu_e.F.sen\theta = F.cos\theta\\\\ F.cos\theta - \mu_e.F.sen\theta = P.sen\theta + \mu_e.P.cos\theta\\\\F (cos\theta - \mu_e.sen\theta) = P.sen\theta + \mu_e.P.cos\theta\\\\F = \frac{P.sen\theta + \mu_e.P.cos\theta}{cos\theta - \mu_e.sen\theta}$

Agora vamos fazer um pequeno artifício e dividir o segundo membro da equação em cima e em baixo por cosΘ, o que obviamente não muda o resultado.

$F = \frac{\frac{P.sen\theta + \mu_e.P.cos\theta}{cos\theta}}{\frac{cos\theta - \mu_e.sen\theta}{cos\theta} } \\\\\\F = \frac{P.tg\theta + \mu_e.P}{1 - \mu_e.tg\theta} \\\\\\F = \frac{P(tg\theta+\mu_e)}{(1 - \mu_e.tg\theta)}$

Como queríamos demonstrar.