Question

Um bloco de massa m = 2,0 kg é deixado cair de uma altura h = 50 cm sobre uma mola de constante elástica k = 2 000 N/m. Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser comprimida​

Answer 1

Após as resoluções concluímos que o comprimento da mola ao ser comprida  $\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = 0{,} 11\: m } }$.

Energia potencial gravitacional é a energia associada à posição que um corpo ocupa.

$\Large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{E_{p} = mgh } } }$

Energia potencial elástica é a energia associada associada à deformação do corpo.

$\Large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{E_{p_{el}} = \dfrac{k x^{2} }{2} } } }$

Num sistema conservativo, a energia mercância total permanece constante, qualquer que seja a transformação do sistema.

$\Large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{E_{m_A} = E_{m_B} } } }$  

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf m = 2{,}0\; kg \\ \sf h = 50\: cm \div 100 = 0{,}50\: m \\ \sf k = 2\:000\: N/m \\ \sf x = \:?\: m \end{cases} } }$

De acordo com a lei de conservação da energia.

O bloco desce uma distância total h + x,

A energia potencial gravitacional final é – mg(h + x).

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{m_A} = E_{m_B} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_i} + E_{P_{e_i}} =E_{P_f} + E_{P_{e_f}} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 0 + 0 = -m g (h+x)+ \dfrac{k x^{2} }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 0 = - 2{,}0 \cdot 10 \cdot (0{,}5+x) + \dfrac{2\:000 \cdot x^{2} }{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 0 = - 20 \cdot (0{,}5+x) + 1\:000x^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 0 = -10 -20x + 1\:000x^{2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 1\:000x^2 -20x - 10 = 0 }$

Determinando o Δ:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = (-20)^2 -\:4 \cdot 1\:000 \cdot (-10) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 400 + 40\:000 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 40\:400 }$

Determinar as raízes da equação:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{20 \pm \sqrt{ 40\:400 } }{2\cdot 1000} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{20 \pm \sqrt{ 400 \cdot 101 } }{20 \cdot 100} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{20 \pm \sqrt{ 400} \cdot \sqrt{101} }{20 \cdot 100} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{20 \pm 20 \cdot \sqrt{101} }{20 \cdot 100} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{\backslash\!\!\!{2}\backslash\!\!\!{ 0}\cdot(1 \pm \sqrt{101} ) }{\backslash\!\!\!{2} \backslash\!\!\!{0} \cdot 100} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{ 1 \pm \sqrt{101} }{ 100} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_1 = \dfrac{ 1 + \sqrt{101} }{ 100} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_2 = \dfrac{ 1 - \sqrt{101} }{ 100} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_1 = 0{,}11\: m } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_2 = -\: 0{,}09\: m \gets n\tilde{a}o ~ serve } }$

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