Question

Um bloco de 1,5 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo x é aplicada ao bloco. A força é dada por F(x) = (2,5 - x²)î N, em que x está em metros e a posição inicial do bloco é x=0. A) qual a energia cinética do bloco ao passar pelo ponto x= 2,0? b) qual a energia cinética máxima do bloco entre x=0 e x= 2m?

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{a) \ W \ = \ \dfrac{7}{3} \ J;} \\\\\mathsf{b) \ K \ \approx \ 2,635 \ J.}$

Explicação:

Definição de trabalho:

$\mathsf{W \ = \ \displaystyle{\int_{C} \vec{F} \bullet \vec{dS}} }$

Em que temos deslocamentos infinitesimais $\mathsf{\vec{dS}}$ em um percurso $\mathsf{C}$ multiplicados de forma escalar pela força aplicada nesse percurso.

Como o movimento é unidimensional (apenas no eixo $\mathsf{X}$):

$\mathsf{W \ = \ \displaystyle{\int_{x_0}^{x}} F_x \ dx}$

Sendo a força $\mathsf{F_{x} \ = \ (2,5 \ - \ x^2) \cdot \hat{i} \ (em \ Newtons)}$, logo:

$\mathsf{W \ = \ \displaystyle{\int_{x_0}^{x}} (2,5 \ - \ x^2) \ dx}$

$\mathsf{W \ = \ \bigg(2,5\cdot x \ - \ \dfrac{x^3}{3} \bigg) \bigg|_{x_0}^{x}}$

$\mathsf{a) \ x_0 \ = \ 0 \ m, \ x \ = \ 2 \ m \ \rightarrow}$

$\mathsf{W \ = \ \bigg(2,5\cdot x \ - \ \dfrac{x^3}{3} \bigg) \bigg|_{0}^{2} \ = \ 5 \ - \ \dfrac{8}{3} \ - \ 0 \ = \ \boxed{\mathsf{W \ = \ \ \dfrac{7}{3} \ J}}}$

Sendo este o trabalho resultante aplicado no bloco, então, pelo teorema do trabalho e energia cinética:

$\boxed{\boxed{\mathsf{K \ = \ W \ = \ \dfrac{7}{3} \ J}}}$

$\mathsf{b) \ \dfrac{d f(n)}{dx} \ = \ 0 \ \rightarrow \ n \ \'e \ m\'ax \ ou \ m\'in \ local \ de \ f(x)}$

A energia cinética será máxima quando o trabalho aplicado resultante for máximo. Sendo assim, o ponto de máximo do trabalho é achado pela sua derivada em relação a $\mathsf{x}$, que é a própria força:

$\mathsf{2,5 \ - \ x^2 \ = \ 0 \ \rightarrow \ x \ = \ \pm \ \sqrt{2,5} \ m}$

Veja que $\mathsf{x \ = \ \sqrt{2,5} \ m}$ é ponto de máximo, pois

$\mathsf{F(x) \ < \ 0,  \forall \ x < -\sqrt{2,5} \cup x > \sqrt{2,5}, \ F(x) \ > \ 0, \forall \ -\sqrt{2,5} < x < \sqrt{2,5}}$

Neste ponto, temos:

$\mathsf{K \ = \ W \ = \ \bigg(2,5\cdot x \ - \ \dfrac{x^3}{3} \bigg) \bigg|_{0}^{\sqrt{2,5}}}$

$\mathsf{K \ = \ 2,5 \cdot \sqrt{2,5} \ - \ \dfrac{(2,5)^3}{3}} \\\\\boxed{\boxed{\mathsf{K \ \approx \ 2,635 \ J}}}$

Answer 2

Resposta:

Muito bem explicado pelo amigo acima.

Explicação:

Na penúltima linha, só esqueceu de colocar raiz de 2,5 ao cubo, mas a resposta está divina, parabéns.